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Aufgabe:

In einer Urne befinden sich 8 rote und 2 schwarze Kugeln. Tomas nimmt n Bälle auf einmal. Wie viele Kugeln muss er mindestens ziehen, damit die Wahrscheinlichkeit, dass unter den gezogenen Kugeln, mindestens eine schwarze dabei ist, mindestens 2/3 beträgt?


Problem/Ansatz:

Wir haben hier ja leider kein Bernoulli-Experiment vorliegen. Sonst könnte man das ganz einfach mit der Binomialverteilung lösen:

$$\Large\cancel{\text{P}^{^{n}}_{0.8}\left(\text{Z}\geq\frac{2}{3}\right)}$$

Wie geht man beim Ziehen ohne Zurücklegen vor?

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Beste Antwort

Hypergeometrische Verteilung

P(Mind. eine schwarze) = 1 - (2 über 0)·(8 über n) / (10 über n) ≥ 2/3 → n ≥ 4

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Schlau. Dann kann man also doch die FORMEL für die Hypergeometrische Verteilung anwenden:

$$\frac{\begin{pmatrix} 2\\ 2\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 8\\ \text{n}\\ \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 10\\ \text{n}\\\end{pmatrix}}\geq\frac{2}{3}$$

Wie löst man das jetzt nach n auf? Also welcher Rechenoperator? Ich verstehe das nicht.

Zunächst hatte ich 2 über 0 geschrieben. das ist allerdings das gleiche wie 2 über 2.

Schaffst du es die Binomialkoeffizienten als Fakultäten zu schreiben und schön zu kürzen?

Schaffst du es die Binomialkoeffizienten als Fakultäten zu schreiben und schön zu kürzen?

Natürlich schaffe ich das!!

$$\frac{8!}{10!}=\frac{1}{10\cdot9}\\\frac{\bcancel{\,8!\,}}{n!\cdot(8-n)!}:\frac{\bcancel{10}!}{n!\cdot(10-n)!}\\\frac{{1}}{n!\cdot(8-n)!}:\frac{90}{n!\cdot(10-n)!}\\\frac{{1}}{n!\cdot(8-n)!}\cdot\frac{n!\cdot(10-n)!}{90}\\\frac{{n!\cdot(10-n)!}}{90n!\cdot(8-n)!}\\\frac{(10-n)\cdot(9-n)}{90}\geq\frac{2}{3}$$

Nicht! Warum sollen da denn zwei Werte bei rauskommen?

Du hast was vergessen

P(Mind. eine schwarze) = 1 - (2 über 0)·(8 über n) / (10 über n) ≥ 2/3

Und dann nach n auflösen.

Eine Lösung kannst du ignorieren. Beachte den Definitionsereich für n. Der Binomialkoeffizient weiß warum. Die Quadratfunktion weiß es nicht.

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Hallo

Diese Antwort war leider sehr falsch!

Wk beim 1. Zug s zu haben ist 2/10, beim 2. 2/9 dann 2/8 usw. addiere diese Wk.

lul

Avatar von 106 k 🚀

Meinst du das so ?

2/10 + 2/9 + 2/8 = 121/180 = 0.6722222222

Und was bringt das jetzt genau?

Wk beim 1. Zug s zu haben ist 2/10, beim 2. 2/9 dann 2/8 usw. addiere diese Wk.

Ich weigere mich die Pfadregeln zu benutzen, wenn es ganz entspannt mit der Hypergeometrischen Verteilung geht.

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