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Ich habe Aufgaben gerechnet bzw mir einige sachen überlegt, aber leider weiß ich nicht, ob es stimmt was ich gemacht habe. Also

In einer Urne befinden sich 3 Weiße und 5 schwarze Kugelen. Wir ziehen mehrfach, die gezogenen Kugeln legen wir nicht zurück.

1. Man zieht so lange, bis man eine schwarze Kugel gezogen hat. Es sei X die Anzahl der nötigen Ziehungen. Berechne P(X=k) für die Werte, die X annehmen kann.

Meine Überlegung: Sind die Anzahl der ZIEHUNGEN 5? Da es ja 5 schwarze gibt, oder 8, also alle insgesamt?

2. Es sei zweimal gezogen worden und dabei sei genau eine schwarze Kugel gezogen worden. mit welcher wahrscheinlichkeit war die zweite gezogene Kugel schwarz?

= 3/8*2/7+5/8

und ich soll diewahrscheinlichkeit erklären,die ich gerade ausgerechnet habe, was soll ich dabei denn genau erklären? Ich würde dazu schreiben, dass es die wahrscheinlichkeit dafür ist, dass man bei zwei ziehungen genau eine schwarze zieht? Oder ist hier etwas anderes gefragt?

3. Wir ziehen viermal. Klaus behauptet, der Erwartungswert der Anzahl der bei der k-ten Ziehung gezogenen schwarzen Kugeln sei 5/8 für jedes k k=1,2,3,4.

a)Stimmst du ihm zu?

Nein, denn ich habe 5/2 raus. K=1,...,4) p=1/5

b)Wie groß ist der Erwartungswert der Anzahl der insgesamt gezogenen schwarzen Kugeln, wenn Klaus Recht hat?

Hier habe ich: E(X)=3 (K=1,....5) p=1/5

EDIT: Separiert
Gefragt von
EDIT: Beachte: https://www.mathelounge.de/schreibregeln

und stell die Tschebyscheff-Aufgabe jetzt separat bei https://www.mathelounge.de/103351/das-tschebyscheff-risiko

1 Antwort

+1 Punkt

In einer Urne befinden sich 3 Weiße und 5 schwarze Kugelen. Wir ziehen mehrfach, die gezogenen Kugeln legen wir nicht zurück.

1. Man zieht so lange, bis man eine schwarze Kugel gezogen hat. Es sei X die Anzahl der nötigen Ziehungen. Berechne P(X=k) für die Werte, die X annehmen kann.

Meine Überlegung: Sind die Anzahl der ZIEHUNGEN 5? Da es ja 5 schwarze gibt, oder 8, also alle insgesamt?

Nein. 

X kann die Werte 1,2,3,4 annehmen. Jetzt musst du aber zu jedem von diesen Werten noch die Wahrscheinlichkeit angeben. Mach dir dazu am besten einen Wahrscheinlichkeitsbaum.

P(X=1) = 5/8

Beim ersten Zug eine schwarze Kugel

P(X=2) = 3/8* 5/7

1 weisse vor der ersten schwarzen Kugel

P(X=3) = 3/8*2/7*5/6

2 weisse vor der ersten schwarzen Kugel

P(X=4) = 3/8*2/7*1/6 *5/5 =  3/8*2/7*1/6          

Zuerst 3 weisse und dann automatisch eine schwarze Kugel.

Nun noch alles in den Taschenrechner eingeben und kontrollieren, ob die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten 1 ist.



2. Es sei zweimal gezogen worden und dabei sei genau eine schwarze Kugel gezogen worden. mit welcher wahrscheinlichkeit war die zweite gezogene Kugel schwarz?

= 3/8*2/7+5/8

Nein. Hier handelt es sich um bedingte Wahrscheinlichkeit P(sw | ws oder sw). 

Es sei zweimal gezogen worden und dabei sei genau eine schwarze Kugel gezogen worden. Heisst: es sind nur noch 4 schwarze und 2 weisse Kugeln in der Urne. Es wurde erst eine schwarze und dann eine weisse gezogen oder umgekehrt. Beide Möglichkeiten sind gleich wahrscheinlich. Nämlich

P(ws, also zuerst weiss und dann schwarz) = 3/8*5/7 = 15/56
P(sw, zuerst schwarz und dann weiss) = 5/8*3/7 = 15/56

Daher ist die gesuchte Wahrscheinlich

 P(sw | ws oder sw) = 15/56 / (15/56 + 15/56) = 15/30 = 1/2

Begründung: Beide Möglichkeiten sind gleich wahrscheinlich. Also haben beide die Wahrscheinlichkeit 50%.


3. Wir ziehen viermal. Klaus behauptet, der Erwartungswert der Anzahl der Anzahl der bei k-ten Ziehung gezogenen schwarzen Kugeln sei 5/8 für jedes k k=1,2,3,4.

a)Stimmst du ihm zu?


Nein, denn ich habe 5/2 raus. K=1,...,4) p=1/5

Achtung: Du hast da was falsch gelesen. Es muss da z.B. stehen: Erwartungswert der Anzahl der Anzahl der bei der k-ten Ziehung gezogenen schwarzen Kugeln sei 5/8.

Bei der k-ten Ziehung kann maximal eine schwarze Kugel gezogen werden. Du kannst da nicht auf einen Erwartungswert über 1 kommen.

b)Wie groß ist der Erwartungswert der Anzahl der insgesamt gezogenen schwarzen Kugeln, wenn Klaus Recht hat?

Hier habe ich: E(X)=3 (K=1,....5) p=1/5

Hier müsste man dann 4*5/8 = 5/2 = 2.5 rausbekommen, wenn Klaus Recht hat.

Beantwortet von 142 k
Danke:)

Ja es stimmt : Erwartungswert der Anzahl der Anzahl der bei der k-ten Ziehung gezogenen schwarzen Kugeln sei 5/8.
Wie kriege ich es denn raus?


 

Ich würde mit der Symmetrie argumentieren. Du kannst es natürlich auch vollständig mit Wahrscheinlichkeitsbaum ausrechnen. Da kann man einfach sagen, dass die Wahrscheinlichkeit für eine schwarze Kugel immer gleich ist, wenn man bei den andern Versuchen alle Varianten zulässt.

Schwarz im ersten Versuch

schwarz: 1 Schwarzeweiss: 0 Schwarze
5/83/8
  

E(Schwarz) = 5/8 * 1 + 3/8*0 = 5/8

 

Schwarz im zweiten Versuch

 

ss: 1 Schwarzesw: 0 Schwarzews: 1 Schwarzeww: 0 Schwarze
5/8*4/75/8*3/73/8*5/73/8*2/7
    

E(Schwarz) = 5/8 *4/7* 1 + 3/8*5/7*1 + (...)*0 = 20/56 + 15/56 = 35/56 = 5/8

Jede weitere Tabelle hat doppelt so viele Spalten. Wenn du es für nötig hältst, kannst du sie noch ergänzen. Anmerkung: Die 3. Zeile ist tatsächlich beide Male leer leer, kann sie nicht löschen ohne die Tabelle zu löschen.

EDIT: Habe die Fragestellung nach deiner Anweisung korrigiert.

Was ist bei 3 das p? p=5/8?
Ich komme nixht auf die 2,5
Wie kriege ich raus, was bei 3)  p ist???

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