Parametrisierung von 3D-Körpern

Question

Hallo! Ich soll eine Parametrisierung für X²+2Y²=Z² finden, also alle Lösungen \( \begin{pmatrix} X\\Y\\Z \end{pmatrix} \) ∈ Z³ finden.

Kann jemand helfen? Ich weiß, dass es eine Art Kegel ist mit einer Ellipsen-Öffnung.

Answer 1

Aloha :)

Nutze aus, dass \(\sin^2\varphi+\cos^2\varphi=1\) gilt:

$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}z\cos\varphi\\[1ex]\frac{1}{\sqrt2}z\sin\varphi\\z\end{pmatrix}\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]\quad;\quad z\in\mathbb R$$

Wir prüfen nach:$$x^2+2y^2=(z\cos\varphi)^2+2\left(\frac{1}{\sqrt2}z\cos\varphi\right)^2=z^2\cos^2\varphi+z^2\cos^2\varphi=z^2\quad\checkmark$$

Comments

Danke für deine Antwort!!

Könntest du vielleicht erklären, wie du auf

\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} z cosφ\\\frac{1}{\sqrt{2}}z cos φ\\z \end{pmatrix} \)

kommst?

Bei deiner Rechnung wo du es nachprüfst, kann ich die Werte nachvollziehen, aber du musst ja rechnerisch irgendwie darauf gekommen sein, oder? Wäre sehr hilfreich! danke

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Das Objekt ist rotationssysmmetrisch um die z-Achse, daher die Idee mit dem trigonometrischen Pythagoras. Die Rechnung geht so:$$\cos^2\varphi+\sin^2\varphi=1\quad\big|\cdot z^2$$$$z^2\cos^2\varphi+z^2\sin^2\varphi=z^2\quad\big|2\cdot\frac12=1\text{ verwenden}$$$$\underbrace{z^2\cos^2\varphi}_{=x^2}+2\cdot\underbrace{\frac12z^2\sin^2\varphi}_{=y^2}=z^2\quad\big|\text{Vergleich mit }x^2+2y^2=z^2$$$$x=z\cos\varphi\quad;\quad y=\frac{1}{\sqrt2}z\sin\varphi\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]$$Beim Wurzelziehen können wir auf das \(\pm\) Zeichen vor der Wurzel berücksichtigt, indem wir den Winkel \(\varphi\in[0;2\pi]\) zulassen. Dadurch werden alle Vorzeichenkombinationen von \(x\) und \(y\) erfasst.

$$\varphi\in\left[0;\frac\pi2\right]\implies x\ge0\;;\;y\ge0$$$$\varphi\in\left[\frac\pi2;\pi\right]\implies x\le0\;;\;y\ge0$$$$\varphi\in\left[\pi;\frac{3\pi}{2}\right]\implies x\le0\;;\;y\le0$$$$\varphi\in\left[\frac{3\pi}{2};2\pi\right]\implies x\ge0\;;\;y\le0$$