Aloha :)
Wir vermuten als Grenzwert der Folge \(a_n=\frac{4n-1}{3n+2}\) den Wert \(a=\frac43\).$$\left|a_n-a\right|=\left|\frac{4n-1}{3n+2}-\frac43\right|=\left|\frac{3(4n-1)-4(3n+2)}{3(3n+2)}\right|=\left|\frac{12n-3-12n-8}{9n+6}\right|=\frac{11}{9n+6}$$
Wir wählen nun ein \(\varepsilon>0\) beliebig aber fest und prüfen, ob es für fast alle \(n\), d.h. ab einem bestimmenten \(n_0\), gößer als unser Ergebnis ist.
Wenn wir den Nenner eines postiven Bruchs verkleinern, wird der Bruch größer, daher gilt:$$|a_n-a|<\frac{11}{9n}\stackrel{!}{<}\varepsilon\implies\frac{9n}{11}>\frac1\varepsilon\implies n>\frac{11}{9\varepsilon}\implies n_0=\left\lceil\frac{11}{9\varepsilon}\right\rceil$$
Für alle \(\varepsilon>0\) gibt es also ein \(n_0\), sodass für alle \(n\ge n_0\) gilt: \(|a_n-a|<\varepsilon\).
Damit konvergiert die Folge \((a_n)\to a=\frac43\).
Jetzt sollst du noch die \(n_0(\varepsilon)\) für die 3 angegebenen \(\varepsilon\)-Werte bestimmen, also einfach nur einsetzen.
