Parametrisierte Kurve und Isometrie Beweis

Question

Aufgabe:

Wenn u: A→ℝⁿ eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve ist und G: ℝⁿ →ℝⁿ eine Isometrie, dann ist die Verkettung G∘u auch eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve.

Diese Aussage soll ich beweisen mit dem Wissen, dass ΙΙu'ΙΙ=1 für nach Bogenlänge parametrisierte Kurven gilt und bei Isometrie d(G(x),G(y))=d(x,y). Mir fehlt jedoch ein Ansatz.

Danke fürs Helfen!

Answer 1

Hallo,

für die Kurvenlänge betrachtet man Zerlegungen $a=t_0<t_1 < \cdots < t_n=b$ und dazu die Länge des entsprchenden Streckenzugs

$$\sum_{k=1}^nd(u(t_k),u(t_{k-1}))$$

Im Falle einer Isometrie ist dies auch die Länge des Streckenzugs durch die Punkte $G\circ u(t_k)$:

$$\sum_{k=1}^nd(u(t_k),u(t_{k-1}))=\sum_{k=1}^nd(G\circ u(t_k),G\circ u(t_{k-1}))$$

Gruß Mathhil