Ist die behauptete Implikation unbedingt richtig? (Verknüpfung, Injektiv)

Question

Wir betrachten die Verknüpfung f ◦ g : A → C zwischen zwei Funktionen g : A → B und f : B → C. Ist die behauptete Implikation unbedingt richtig? Führe einen Beweis oder gib ein Gegenbeispiel an.

(1) Sind f und g beide injektiv, dann ist auch f ◦ g injektiv.

Ich würde mich über Hilfe freuen!

Answer 1

Ja ist sie:

Prinzipiell zeigt man ja Injektivität einer Funktion h, wenn man folgendes schreiben kann: $$h(x)=h(y)\Rightarrow x=y$$

Für deinen Fall können wir genau das tun:

Es gilt $$(f\circ g)(x)=(f\circ g)(y)\Rightarrow f(g(x))=f(g(y))\Rightarrow g(x)=g(y)\Rightarrow x=y$$

Der erste Folgerungspfeil ist einfach nur das Umschreiben der Verknüpfung, beim zweiten Pfeil nutzen wir die Injektivität von f wegen der $$f(x)=f(y)\Rightarrow x=y$$ gilt. Beim dritten Pfeil nutzen wir die Injektivität von g, wegen der $$g(x)=g(y)\Rightarrow x=y$$ gilt. Wenn du jetzt nur ersten und letzen Ausdruck betrachtest, ist das genau die Folgerung die wir brauchen, um zu sehen, dass die Verknüpfung von f und g injektiv ist.

LG, falls was nicht verständlich ist, frag gern nocheinmal nach ;)

Comments

Danke, das hilft schon mal.

Wegen dem 2. und 3. Folgerungspfeil: Woher wissen wir, dass die Injektivität von f und g gegeben ist (wenn wir sie nutzen, dann muss sie ja auch gegeben sein)?

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wegen:

" Sind f und g beide injektiv, dann .... "

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Edit, nicht mehr nötig

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Danke, so einfach kann es manchmal sein...

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Ich habe noch eine Frage: Bei der Injektivität gilt ja h(x)=h(y) => x=y

Wie lauten die Definitionen für surjektiv und bijektiv?

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Schau mal dort

https://de.wikipedia.org/wiki/Surjektive_Funktion#Definition

Answer 2

Seien x,y aus A und

(f ◦ g)(x) =  (f ◦ g)(y)

also f(g(x)) = f(g(y))

Dann ist g(x)=g(y), weil f injektiv ist.

Und aus g(x)=g(y) folgt x=y , weil g injektiv ist,

also stimmt es.

Comments

Wegen dem 2. und 3. Folgerungspfeil: Woher wissen wir, dass die Injektivität von f und g gegeben ist (wenn wir sie nutzen, dann muss sie ja auch gegeben sein)?

Answer 3

Ja, die Implikation ist richtig:

$(f\circ g)(x_1)=(f\circ g)(x_2)\iff f(g(x_1))=f(g(x_2))$.

Wegen der Injektivität von $f$ folgt daraus: $g(x_1)=g(x_2)$

und wegen der Injektivität von $g$ liefert dies: $x_1=x_2$.