Beweisen einer Aussage ohne Induktion

Question

Hallo Leute,

Ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe:

Für alle n ∈ N mit n ≥ 2 gilt:

\( \prod \limits_{i=2}^{n}(1 - \frac{1}{i})=\frac{1}{n} \)

Ich soll dabei diese Aussage ohne Induktion beweisen. Ich dachte, man könnte hier den Gaus verwenden, aber ich kam nicht wirklich weiter.

Answer 1

$$\prod_{i=2}^n\big(1-\tfrac1i\big)=\prod_{i=2}^n\frac{i-1}i=\frac{\prod\limits_{i=2}^n(i-1)}{\prod\limits_{i=2}^ni}=\frac{(n-1)!}{n!}=\frac1n.$$