Zeigen Sie: M besitzt ein größtes Element.

Question

Sei (M,≤) eine linear geordnete, endliche Menge.
(a) Zeigen Sie: M besitzt ein größtes Element. Hinweis: Vollständige Induktion
bzgl. der Mächtigkeit von M.

Ich komme hier nicht weiter, wie soll man das mittels vollständiger Induktion zeigen?

Answer 1

Hallo,

Der Fall einer einelementigen Menge ist trivial erledigt.

Induktionsanfang: Eine linear geordnete Menge \(M=\{x,y\}\) mit 2 Elementen besitzt ein größtes Element. Denn aufgrund der linearen Ordnung gilt \(x \leq y\) oder \(y \leq x\). Im ersten Fall ist y größtes Element von M, im zweiten ist es x.

Induktionsschlluss: Sei M eine linear geordnete Menge mit n+1 Elementen mit \(n \geq 2\). Sei x eine Element aus M. Dann ist \(M':=M \setminus\{x\}\) eine linear geordnete Menge mit n Elementen. Nach Induktionsvoraussetzung besitzt sie ein größtes Element \(y \in M'\). Dann gilt:

Falls \(y \leq x\): x ist größtes Element von M

Falls \(x \leq y\): y ist größtes Element von M.

Gruß Mathhilf