Menge A = {x ∈ R: ∃a ∈ R so, dass x = a2−a+1/ a+1} bestimmen

Question

Aufgabe: Menge bestimmen Lineare Algebra

Bestimmen Sie die Menge A = {x ∈ R: ∃a ∈ R so, dass x = a²−a+1/ a+1}.

Problem/Ansatz:

Ich habe mir überlegt, die Gleichung nach a umzuformen und dann wieder in die Gleichung einzusetzen. Aber irgendwie lässt sich die Gleichung nicht richtig umformen. Ist das überhaupt der richtige Ansatz und hat jemand vielleicht paar Tipps für mich? :D

Answer 1

Man kann das schon umformen. Man muss dafür halt die kleine Lösungsformel verwenden.

Lösung 1:

$$\begin{aligned} x&=\frac{a^2-a+1}{a+1}\\ xa+x&=a^2-a+1\\ a^2-a-xa+1-x&=0\\ a^2+a\underbrace{(-1-x)}_{=:p}+\underbrace{(1-x)}_{=:q}&=0\\ \Rightarrow a_{1,2} &= \frac{1+x}{2}\pm\sqrt{\frac{1+2x+x^2}{4}-1+x}\\ \end{aligned}$$

Damit ein a existiert, muss gelten:

$$\Rightarrow \frac{1+2x+x^2}{4}-1+x\geq0\Rightarrow 1+2x+x^2-4+4x=x^2+6x-3\geq0$$

$$\Rightarrow x_{1,2}=-3\pm\sqrt{\frac{36}{4}+3}\approx -3\pm 3.46$$

Also existiert für x<-6.46 oder x>0.46 so ein a.

Lösung 2:

Die vielleicht noch elegantere Lösung wäre mit Ableitungen zu arbeiten, die ist aber vielleicht ein bisschen schwerer nachzuvollziehen. Dafür definieren wir die Funktion: $$\begin{aligned}f:\mathbb{R}\setminus\{-1\}&\to\mathbb{R}\\ a&\mapsto \frac{a^2-a+1}{a+1}\end{aligned}$$
Dann muss ersteinmal auffallen, dass für a<-1, die Funktion negativ ist und für a>-1 die Funktion positiv ist (weil das Polynom im Zähler keine Nullstelle in den reellen Zahlen hat).

Dann können wir ableiten und sehen: $$f'(a)=\frac{a^2+2a-2}{a^2+2a+1}$$

$$f'(a)=0\Leftrightarrow a^2+2a-2\Leftrightarrow a = -1\pm\sqrt{1+2}=-1\pm\sqrt{3}$$

Nun können wir an diesen beiden Punkten unsere Funktion auswerten:

$$f(-1+\sqrt{3})\approx 0.46,\qquad f(-1-\sqrt{3})\approx -6.46$$

Die Funktion wird im negativen Bereich also nicht größer als -6.46 und im positiven Bereich nicht kleiner als 0.46. Die Werte dazwischen werden somit überhaupt garnicht getroffen. Alle anderen Werte aber schon, weil die Funktion stetig ist und von links bei -1 gegen -unendlich divergiert und von rechts bei -1 gegen +unendlich divergiert.

Also haben wir wieder die gleichen Grenzen bekommen. Es existiert für x<-6.46 oder x>0.46 ein a.

Falls was unklar ist, frag einfach nochmal nach :) LG

Comments

Vielen Dank für die ausführliche Erklärung :)

Heißt das also das die Menge A definiert werden könnte als {(-Unendlich; -6.46) und (0.46, bis plus unendlich)} oder wie genau könnte man sich das dann vorstellen?

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Gerne :) und ja, genau so schaut die Menge aus!

Falls du Geogebra am PC kann ich auch empfehlen, mal die Funktion die ich gegeben hab zu zeichnen, dann wirds vielleicht noch klarer. Dabei wär dann a die x-Achse und alle y-Werte die "getroffen" werden, die x die in der Menge liegen.

Answer 2

Ich würde sagen in der Gleichung fehlt mind. ein paar Klammern. Also bitte mal nachbessern