Bestimme alle Z mit IM()

Question

Aufgabe:

Bestimme alle \( z \in \mathbb{C} \) mit

\(\displaystyle \operatorname{lm}\left(\frac{z+3 i}{z-3 i}\right) \geq 0 \)

Problem/Ansatz:

ich weiß momentan nicht wie ich bei dieser Aufgabe weiterkomme, ist es ein richtig Ansatz den Teil in der Klammer komplex zu konjugieren und den komplex konjugierten Teil rechts dran zu multiplizieren? Könnte mir jemand einen Tipp geben ?

Mfg

Seonix

Comments

Wäre 3i ein mögliches z?

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Setze doch einfach mal \(z = 3\mathrm{i}\) in \(\frac{z+3\mathrm{i}}{z-3\mathrm{i}}\) ein und rechne aus.

Answer 1

Es gilt

        \(\frac{1}{z_r + \mathrm{z_i}\mathrm{i}} = \frac{1}{z_r^2 + z_i^2}\left(z_r-z_i\mathrm{i}\right)\)

Damit kannst du den Imaginärteil von \(\frac{z+3\mathrm{i}}{z-3\mathrm{i}}\) bestimmen.

Answer 2

Sei \(z=x+iy\) mit reellen \(x,y\), dann ist für \(z\neq 3i\):

\(Im(\frac{z+3i}{z-3i})=Im(\frac{(x+(y+3i))(x-(y-3)i)}{x^2+(y-3)^2})=6x/N\) mit \(N>0\).

Die gesuchte Menge ist damit \(\{z: \; Re(z)\geq 0\; \wedge z\neq 3i\}\)