Einen Vektorraum Beweisen anhand zwei funktionen

Question

Aufgabe

Beweis des Vektorraus

Für die Funktionen ff: R -> R

$\begin{aligned}(f+g)(x) &:=f(x)+g(x) \\(\lambda \cdot f)(x) &:=\lambda \cdot f(x) \end{aligned}$

Problem/Ansatz

Ich weiß, dass ich einen Vektorraum anhand seiner Axiome beweisen kann, aber ich weiß nicht wie genau ich den Beweis aufstellen kann.

Answer 1

Beispiel Assoziativität von +:

Zu zeigen ist

$(f+g)+h=f+(g+h)$. Hier ist die Gleichheit zweier Abbildungen

zu zeigen. Das macht man, indem man diese durch Einsetzen

beliebiger Argumente nachweist:

Es gilt für alle $x\in \mathbb{R}$:

$((f+g)+h)(x)=(f+g)(x)+h(x)=(f(x)+g(x))+h(x)=$

Nun Assoz. in $(\mathbb{R},+)$  anwenden:

$=f(x)+(g(x)+h(x))=f(x)+(g+h)(x)=(f+(g+h))(x)$.

Answer 2

Seien $u,v,w: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ Funktionen und $\alpha,\beta \in \mathbb{R}$.

Ferner seien

        $z: \mathbb{R}\to\mathbb{R}, x\mapsto 0$

und

        $u': \mathbb{R}\to\mathbb{R}, x\mapsto -u(x)$.

Begründe warum für alle $x\in \mathbb{R}$ gilt:

1. $(u+(v + w))(x) = ((u+v) + w)(x)$
2. $(u + v)(x) = (v+u)(x)$
3. $(u + z)(x) = u(x)$
4. $(u + u')(x) = z(x)$
5. $((\alpha\cdot\beta)\cdot u)(x) = (\alpha \cdot (\beta \cdot u))(x)$
6. $(1\cdot u)(x) = u(x)$
   
7. $(\alpha\cdot (u + v))(x) = (\alpha \cdot u + \alpha \cdot v)(x)$
   
8. $((\alpha+\beta)\cdot u)(x) = (\alpha \cdot u + \beta \cdot u)(x)$
   
   
   

Beispielhaft die Begründung zu 7.

$\begin{aligned}& & & \left(\alpha\cdot\left(u+v\right)\right)(x)\\ & \text{Definition }"\cdot"\text{ im VR} & =\, & \alpha\cdot\left(u+v\right)(x)\\ & \text{Definition }"+"\text{ im VR} & =\, & \alpha\cdot\left(u(x)+v(x)\right)\\ & \text{Distributivgesetz in }\mathbb{R} & =\, & \alpha\cdot u(x)+\alpha\cdot v(x)\\\\ & & & \left(\alpha\cdot u+\alpha\cdot v\right)(x)\\ & \text{Definition }"+"\text{ im VR} & =\, & \left(\alpha\cdot u\right)(x)+\left(\alpha\cdot v\right)(x)\\ & \text{Definition }"\cdot"\text{ im VR} & =\, & \alpha\cdot u(x)+\alpha\cdot v(x)\end{aligned}$