Abbildung Kn --> Vektorraum

Question

 

habe eine kleine Verständnisfrage:

Sei V ein Vektorraum über Körper  K mit Dimension = n (endlich).

Als Basisabbildung haben wir definiert:

 

y: Kⁿ --> V,  (x₁, x₂, ....., x_n) ---> x₁*e₁ + x₂e*_y +...+ x_n*e_n  mit e₁,...e_n als Basisvektoren von V.

 

Meine Frage: Ist Kⁿ und V nicht ein und dasselbe?

Oder gibt es n-dimensionale Vektorräume, deren Vektoren nicht aus n Einträgen bestehen?

Für mich sagt diese Abbildung nur aus, dass man einen Vektor entweder als Matrix (Zeilenvektor) schreiben kann, oder als Linearkombination mit Basisvektoren...

Answer 1

Der Vektorraum V der Polynome vom Grad kleiner-gleich n hat die Dimension n+1, ist aber nicht identisch mit $$K^{n+1}$$. Jedoch sind beide Vektorräume isomorph. Oder nimm dir Unterräume von $$K^n$$: Es gibt i.d.R. mehrere Unterräume gleicher Dimension. Man kann sich aber durchaus auf den Standpunkt stellen, dass isomorphe Vektorräume "gleich" sind, im Sinne dass sie die gleiche Vektorraumstruktur beschreibt. Jedoch können die beiden Objekte noch zusätzliche Strukturen haben, Z.B sind die $$\mathbb R$$ -Vektorräume $$\mathbb R^2 \text{ und } \mathbb C$$ isomorph als Vektorräume, letzterer hat aber noch eine Körperstruktur, die ersterer nicht hat.

Comments

danke schon mal für die Antwort!

wenn ich bei Deinem ersten Bsp. bleibe:

Wäre ein Isomorphismus zB gegeben durch

y: Kⁿ⁺¹ --> V[x],  (k₁,k₂,...,k_n) --> k_n+1xⁿ + k_nx^n-1+...+.k₁  gegeben?

V[x] ist hierbei der VR der Polynome von Grad <=n.

 

Gruß

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Genau so ist es.

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ich danke Dir für die Hilfe :)