Äquivalenz beweisen, Vektoren

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass für Vektoren v,w∈ℝⁿ die folgenden drei Aussagen äquivalent sind:

a) v≠0 und es gibt keine Zahl λ∈ℝ mit w=λv.

b) w≠0 und es gibt keine Zahl μ∈ℝ mit v=μw.

c) Sind λ,μ∈ℝ gegeben mit λv+μw=0, so folgt notwendigerweise λ=μ=0.

Answer 1

a) v≠0 und es gibt keine Zahl λ∈ℝ mit w=λv.

zu a) ==> b)  Angenommen es wäre w=0 , dann gäbe es eine

Zahl (nämlich λ=0 ) mit  w=λv, also w≠0.

Angenommen es gäbe eine Zahl μ∈ℝ mit v=μw.

Wegen v≠0 also μ≠0 und damit 1/μ ∈ℝ und w=(1/μ)v

im Widerspruch zu: es gibt keine Zahl λ∈ℝ mit w=λv.

Damit gilt a) ==> b) , entsprechend auch b) ==> a) ,

also hat man a) <=> b)

b) ==> c)

Es gilt b) , also auch a)  Und dann weiter so:

also : w≠0 und es gibt keine Zahl μ∈ℝ mit v=μw.

Und seien   λ,μ∈ℝ gegeben mit λv+μw=0.

Angenommen es wäre λ≠0 . Dann folgt

aus λv+μw=0 mittels | * 1/λ
         v +(μ/λ)w=0  also       v =  (-μ/λ)w

im Widerspruch zu: es gibt keine Zahl μ∈ℝ mit v=μw.

Angenommen μ≠0. Da auch a) gilt hat man ja

v≠0 und es gibt keine Zahl λ∈ℝ mit w=λv.

Dann folgt aus λv+μw=0 mittels | * 1/μ

                    (λ/μ)v+w=0

Also   (-λ/μ)v=w

Widerspruch zu : es gibt keine Zahl λ∈ℝ mit w=λv.

Also folgt   λ=0 und  μ=0.    q.e.d.