Question

Rekursive Folge in explizite Darstellung umwandeln

Ich habe a1= 1/3 und an+1=1/3an + 1/3

Problem/Ansatz:

Zuerst habe ich dann a2 und a3 berechnet und für a2=4/9 und a3= 13/27

Offensichtlich ist ja, dass der Nenner sozusagen immer 3^n und der Zähler auch die Dreier Reihe +1 beinhaltet also habe ich zuerst gedacht die explizite Darstellung wäre an=1 + 1/3^n aber das ist falsch. Jetzt komme ich nicht mehr weiter, könnte mir jemand helfen?

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

$$a_{n+1}=\frac13a_n+\frac13\quad;\quad a_1=\frac13$$Wir bilden mal die ersten paar Folgenglieder:$$a_1=\frac13$$$$a_2=\frac13\cdot\frac13+\frac13=\frac13+\frac{1}{3^2}$$$$a_3=\frac13\cdot\frac13\cdot\frac13+\frac13\cdot\frac13+\frac13=\frac13+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}$$und haben die Vermutung:$$a_n=\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{3^k}=\sum\limits_{k=\pink0}^n\frac{1}{3^k}\pink{-1}=\sum\limits_{k=0}^n\left(\frac13\right)^k-1$$Mit der Summenformel für die geometrische Reihe \(\left(\sum_{k=0}^nq^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\right)\) finden wir:$$a_n=\frac{1-\left(\frac13\right)^{n+1}}{1-\frac13}-1=\frac{3-\left(\frac13\right)^{n}}{3-1}-1=\frac32-\frac12\left(\frac13\right)^n-1=\frac12\left(1-\frac{1}{3^n}\right)$$

Answer 2

Könnte  an=1/2 - 1/(2*3ⁿ) passen ?