Grenzwert von Folgen ohne L'Hospital

Question

Aufgabe:

lim n->∞ (n+1)*sin(1/n+1)

Problem/Ansatz:

Ich habe hier das Problem, dass ich den Grenzwert nicht mit L'Hospital berechnen soll und mir keine andere Möglichkeit einfällt.

Comments

Meinst du in Wirtklichkeit
\(\lim_{n \to \infty}(n+1)*\sin(1/(n+1))\) ?
Und wenn ja, warum schreibst du es nicht?

Answer 1

Aloha :)

$$\lim\limits_{n\to\infty}\left((n+1)\cdot\sin\left(\frac{1}{n+1}\right)\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{\sin\left(\frac{1}{n+1}\right)}{\frac{1}{n+1}}\right)=\lim\limits_{x\searrow0}\left(\frac{\sin(x)}{x}\right)$$Wegen \(n\in\mathbb N\) ist \(0<\frac{1}{n+1}\le\frac12\) und daher \(x\in(0;\frac12]\).

In diesem Bereich sind \(\sin(x)\) und \(\tan(x)\) positiv und es gilt:$$\sin(x)\le x\le\tan(x)\implies1\le\frac{x}{\sin(x)}\le\frac{\frac{\sin(x)}{\cos(x)}}{\sin(x)}\implies 1\le\frac{x}{\sin(x)}\le\frac{1}{\cos(x)}\stackrel{\text{Kehrwerte}}{\implies}$$$$1\ge\frac{\sin(x)}{x}\ge\cos(x)\implies1\ge\lim\limits_{x\searrow0}\left(\frac{\sin(x)}{x}\right)\ge\lim\limits_{x\searrow0}\left(\cos(x)\right)=\cos(0)=1$$Damit konvergiert \(\frac{\sin(x)}{x}\) gegen \(1\), wenn \(x\) von oben her gegen die \(0\) strebt.

Der Grenzwert der usprünglichen Folge ist daher \(1\).

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Vielen Dank für die ganzen Antworten, die wirklich auch hilfreich waren. Zur Schreibweise tut es mir leid, dass diese nicht ganz eindeutig war. Mir ist durchaus bewusst, dass dort ein Unterschied ist, aber in dem Moment der Frage erschien es mir verständlich.

Answer 2

Hallo :-)

Hier würde eine untere Abschätzung ausreichen, um zu zeigen, dass der Grenzwert nicht existiert:

Als Vorarbeit kann man \(\sin(x)\) für alle \(x\in [0,\frac{\pi}{2}]\) betrachten, denn dort ist der Sinus monoton wachsend. Weiter ist \(1\leq \underbrace{1+\frac{1}{n}}_{\text{steht im Sinus drin}}\leq \frac{3}{2}<\frac{\pi}{2}\) für alle \(n\in \N_{\geq 2}\).

Also folgt \(\sin(1)\leq \sin\left(1+\frac{1}{n}\right)\) für alle \(n\in \N_{\geq 2}\).

Also bekommt man für alle \(n\in \N_{\geq 2}\) folgende untere Abschätzung: $$(n+1)\cdot \sin\left(1+\frac{1}{n}\right)\geq (n+1)\cdot \underbrace{\sin(1)}_{>0}\stackrel{n\to \infty}{\longrightarrow} \infty$$

Zusatz: Falls tatsächlich \(\lim_{n \to \infty}(n+1)*\sin(1/(n+1))\) stattdessen gemeint ist, wie ermanus sagt, dann kannst du auch mit Abschätzungen arbeiten; mit oberer und unterer Abschätzung. Kennst du schon folgende Abschätzungen?$$ \sin(x)\leq x,\quad \sin(x)\geq x-\frac{x^3}{6} $$ für alle \(x\in [0,\infty[\).

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Ich würde vermuten das 1/(n+1) im Sinus steht, der Fragesteller halt nicht weiß, dass das einen Unterschied bedeutet.

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Kann gut sein. Deshalb habe ich einen Zusatz noch eingebettet, mit dem Hinweis, die beiden Abschätzungen zu benutzen.

Answer 3

$$\lim \limits_{n \to \infty} (n + 1) \cdot \sin \left(\frac{1}{n + 1} \right) \newline = \lim \limits_{u \to \infty} u \cdot \sin \left(\frac{1}{u} \right) \newline = \lim \limits_{u \to \infty} u \cdot \left(\frac{1}{u} \right) = 1$$