Wieso reicht nicht der erste Teil vom Beweis aus?

Question

Ich verstehe nur den ersten Teil von diesem Beweis und brauche Hilfe, um auch den zweiten Teil zu verstehen.

Behauptung: \( \sqrt{3} \) ist irrational.

Beweis soll durch einen Widerspruchsbeweis erfolgen.

Angenommen \( \sqrt{3} \) ist also nicht irrational, sondern rational, dann muss es einen Bruch \( \frac{a}{b} \) geben, mit a, b ∈ ℤ, b ≠ 0 und a und b sind teilerfremd:

\( \sqrt{3} \) = \( \frac{a}{b} \)      | quadrieren

3 = \( \frac{a²}{b²} \)                   | multiplizieren mit b²

3b² = a²

3b² ist somit eine ganze Zahl, welche durch 3 teilbar ist, für a² gilt das Gleiche. Sie sind also nicht teilerfremd.

Bis hierhin verstehe ich es.

Was mich verwirrt ist, dass nun auf Wikipedia und auch auf Youtube immer noch weitergerechnet wird. Es wird a² dann mit p ersetzt und es geht weiter mit:

3 = 9 \( \frac{p²}{b²} \)

b² = 3p²                                    | p² mit q ersetzen

b = 3q

Und erst ab hier zeigt sich der Widerspruch. Aber wieso reicht nicht schon der erste Teil?

Answer 1

Im ersten Teil wir (nur) gezeigt, dass a den Teiler 3 hat, aber noch nicht, dass b auch den Teiler 3 hat. Das erfolgt erst im zweiten Schritt.

Comments

Eigentlich wird im ersten Teil nur gezeigt, dass \(a^2\in3\mathbb Z\) ist. Daraus müsste noch geschlossen werden können, dass dann auch schon \(a\in3\mathbb Z\) ist.