Wahrscheinlichkeit, Anzahl Spiele

Question

Hallo

Gegeben ist ein Sack mit zehn Kugeln, die wie folgt beschriftet sind:

8 Kugeln mit "gewinnt 1 Punkt"
1 Kugel mit "verliert 2 Punke"
1 Kugel mit "verliert 5 Punke"

Mit jeder Ziehung gewinnt man 0,1 Punkte durchschnittlich.

Jetzt würde ich gerne berechnen, nach wie vielen Ziehungen man 100 Punkte erreicht. Nur wie?

Oder kann man berechnen, nach wie vielen Ziehungen man mit einer Wahrscheinlichkeit zu 95 Prozent 100 Punkte erreicht?

Liebe Grüße,
Robert

Answer 1

Jetzt würde ich gerne berechnen, nach wie vielen Ziehungen man 100 Punkte erreicht. Nur wie?

Du könntest hier nur berechnen nach wieviel Ziehungen man erwartungsgemäß 100 Punkte erreicht. Das währen dann

100 / 0.1 = 1000 Spiele

Oder kann man berechnen, nach wie vielen Ziehungen man mit einer Wahrscheinlichkeit zu 95 Prozent 100 Punkte erreicht?

Das lässt sich berechnen. Dazu würde ich z.B. mittels der Normalverteilung eine Näherung berechnen.

Comments

Und WIE kann man das berechnen?

Die Ziehungen sind ja nicht normalverteilt, auch nicht annähernd.

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Die Masse machts. Eine Menge an Ziehungen ist näherungsweise Normalverteilt.

E(X) = 1·8/10 - 2·1/10 - 5·1/10 = 0.1

V(X) = 1^2·8/10 + 2^2·1/10 + 5^2·1/10 - 0.1^2 = 3.69

Der Gewinn nach n Spielen ist also näherungsweise normalverteilt mit dem Erwartungswert 0.1·n und der Varianz 3.69·n

0.1·n - 1.645·√(3.69·n) = 100 --> n = 2616

Damit braucht man 2616 Spiele um mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 95% mind 100 Punkte zu haben.

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Vielen Dank. Jetzt lichtet sich der Nebel und ich verstehe nun das Ganze besser. Für hundert Punkte muss ich 1000 Kugeln ziehen (und wieder zurücklegen), obwohl ich sie damit oft nicht erreiche, eben jedes zweite Mal. Wenn ich auf Nummer Sicher gehen will, muss ich unendlich oft ziehen. Wenn ich auf Nummer "sehr Sicher" gehen will, muss ich 2616 Mal ziehen. Dafür kann ich da auch mehr Punkte erwarten.

Ich sehe in Deiner Berechnung, je mehr Kugeln ich ziehe (und jedes Mal wieder zurücklege), umso mehr Punkte kann ich erwarten und umso größer ist die Varianz der Punktesumme. Gut, dass die Standardabweichung nur um die Wurzel steigt.

Jetzt hätte ich noch eine Frage:

Wie kann man die Varianz des Mittelwertes einer Summe berechnen? Nach eigenen Excel-Versuchen mit 1000 Mal 100 Ziehungen komme ich auf V/n.

LG, Robert

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Wie kann man die Varianz des Mittelwertes einer Summe berechnen? Nach eigenen Excel-Versuchen mit 1000 Mal 100 Ziehungen komme ich auf V/n.

Naja. Um die Varianz von n Spielen zu berechnen habe ich ja auch die Einzelvarianz mal n genommen.

Dann wäre es nur logisch von der Summe auf die Einzelvarianz zu kommen, wenn man wieder durch n teilt.

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Die Varianz der Summe ist V(X) * n
und die Varianz des Mittelwertes ist V(X) / n, nicht wahr?

Wobei n die Zahl der Zufallsvariablen ist.

Nach welchen Regeln wird das berechnet. Im Wikpedia über den ZGS ist die Summe von Zufallsvariablen beschrieben.

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Die Varianz der Summe ist V(X) * n und die Varianz des Mittelwertes ist V / n, nicht wahr? Wobei V die Varianz der Zufallsvariablen ist

Schaut doch gut aus, wenn du das durch eine Proberechnung auch näherungsweise heraus hast, ist das doch prima.

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Ja, das sehe ich auch so. Sieht gut aus, dass meine Näherung und Dein Ansatz so nahe zusammenkommen.

Das Folgende verstehe ich nicht:

Die Varianz der Summe ist V(X) * n
und die Varianz des Mittelwertes ist V(X) / n, also wie man auf diese Formeln kommt.

LG,
Robert

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Die Regeln findest du ohne Herleitung unter

https://de.wikipedia.org/wiki/Varianz_(Stochastik)

Eine Herleitung findet man auch im Internet wenn man sucht.

Die Ist aber auch in diversen Statistikbüchern zu finden.

Ich nehme eigentlich an das ihr das in der Uni auch gemacht habt wenn ihr eine Aufgabe bekommt, bei der die Anwendung nötig ist. Oder habt ihr einen anderen Weg in der Musterlösung angegeben gehabt?

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Ja, diese Seite kenne ich, kann da oder sonst wo keine Antwort finden. Deswegen frage ich ja hier im Forum. Kann ja sein, dass jemand etwas zur Aufklärung beitragen kann.

Natürlich habe ich danach gesucht. Deshalb antworte ich ja erst heute, eine Woche nach Deiner Antwort. Sobald ich Zeit habe, kaufe ich mir ein Statistikbuch und werde es aufmerksam lesen. Danke jedenfalls für Deinen Hinweis auf Bücher und das Internet.

Ja, Deine Annahme ist richtig, wir haben das auf der Uni gemacht und auch Musterlösungen dazu bekommen. Ich kann mich gut erinnern, insbesondere an die Assistenten. Sie waren höchstens halb so alt wie ich jetzt. Statistik war aber nicht so ein Schwerpunktthema. Aber zu Deiner Frage: Ich weiß nicht mehr, welche Musterlösungen wir bekommen haben. Mittlerweile bin ich drei Mal übersiedelt und meine Mathe-Skripten mussten für unwichtigere Dinge Platz machen.

Jetzt habe ich die Möglichkeit, mich beruflich zu profilieren und bin gerade dabei, mir Grundlagen anzueignen, um mich an die eigentliche Aufgabe heran zu tasten.

Ich habe noch einige Fragen zum Thema Statistik, zu denen ich im Internet keine Antwort finde. Wohl deshalb, weil ich bestimmte Zusammenhänge nicht gleich erkenne, wie zum Beispiel die Verbindung zwischen Zufallsvariablen und deren Summen bzw. Mittelwerten.

Meine Frage in diesem Forum richtet sich an alle, die gerne helfen wollen.

Liebe Grüße,
Robert