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Aufgabe:

a) Berechnen Sie \(\int\limits_{\infty}^{\infty} \delta(a* x-b)f(x) dx \) , wobei man zuerst die Koordinatentrafo. \( x^{\prime}=a x-b \) durchführen sollb) Sei \( g(x) \) eine glatte Funktion mit einer Nullstelle bei \( x 0 \) sowie \( g_0 \) ungleich 0.

\( \delta(g(x))=\frac{\delta\left(x-x_{0}\right)}{\mid g^{\prime}\left(x_{0} \mid\right.} \) und verallgemeinern sie das Ergebnis für den Fall, dass \( g(x) \) mehrere Nullstellen hat.c) Die Dirac-Delta-Distrib. ist definiert als:

\( \delta^{(3)}\left(x_{i}\right)=\delta\left(x_{1}\right) \delta\left(x_{2}\right) \delta\left(x_{3}\right)\)(1) Berechnen sie:\(\int \limits_{-\infty}^{\infty} \int \limits_{-\infty}^{\infty} \int \limits_{-\infty}^{\infty} \delta^{(3]}\left(x_{i}-y_{i}\right) f\left(y_{i}\right) d^{3} y\)(2) Sei \( A_{i}^{j} \) eine invertierbare Matrix. Berechen sie\(\int \limits_{-\infty}^{\infty} \int \limits_{-\infty}^{\infty} \int \limits_{-\infty}^{\infty} \delta^{(3]}\left(A_{i}^{j} x_{j}+b_{i}\right) f\left(x_{i}\right) d^{3} x\)und beachten sie die Jacobi-Determinante beimKoordinatenwechsel
Meine Ideen:Zu a): Hier habe ich das Integral so umgeformt:\(\int \limits_{-\infty}^{\infty} \delta(x) f(a x-b) d x\)Da jetzt für die Delta funktion gilt, dass Stimmt das so?
Zu b):Hier bin ich tatsächlich was den Ansatz belangt überfragt bzw. wie ich das zeigen soll.
Zu c): (1) Hier hätte ich für\(\delta^{(3]}\left(x_{i}-y_{i}\right)=\delta\left(x_{1}-y_{1}\right) \delta\left(x_{2}-y_{2}\right) \delta\left(x_{3}-y_{3}\right)\)eingesetzt, dann wie in a) transformiert und integriert.
(2) Hier hätte ich wie in (1) berechnet, weiß allerdings nicht, wie die Jacobi-Determinante ins Spiel kommen soll.
Ich bedanke mich für jede Hilfestellung und hoffe, dass wir sie gemeinsam lösen können :D

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Weil das mit der Darstellung etwas blöd ist, dachte ich mir, dass ich etwas klarstellen sollte, was was ist. Na h g_(0) sollte kommen: \( \delta(g(x))=\frac{\delta\left(x-x_{0}\right)}{\mid g^{\prime}\left(x_{0} \mid\right.} \)


Und bei meiner Idee folgt für mich das das Integral f(a) ergibt, weil mit den Delta-Regeln das Integral von Delta = 1 wird.

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