Berechnung des Reihenwertes

Question

Aufgabe: Wie kann man den Reihenwert berechnen?

\( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{} \) \( \frac{1}{k^2+4k+3} \)

Answer 1

Aloha :)

$$S_n\coloneqq\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k^2+4k+3}=\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k^2+4k+4-1}=\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{(k+2)^2-1}=\sum\limits_{k=2}^{n+2}\frac{1}{k^2-1}$$$$\phantom{S_n}=\sum\limits_{k=2}^{n+2}\frac{1}{(k-1)(k+1)}=\sum\limits_{k=2}^{n+2}\frac12\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k+1}\right)=\frac12\sum\limits_{k=2}^{n+2}\frac{1}{k-1}-\frac12\sum\limits_{k=2}^{n+2}\frac{1}{k+1}$$$$\phantom{S_n}=\frac12\sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k}-\frac12\sum\limits_{k=3}^{n+3}\frac{1}{k}=\frac12\left(\frac11+\frac12+\sum\limits_{k=3}^{n+3}\frac{1}{k}\right)-\frac12\left(\sum\limits_{k=3}^{n+1}\frac{1}{k}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}\right)$$$$\phantom{S_n}=\frac12\cdot\left(1+\frac12\right)-\frac12\cdot\left(\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}\right)\stackrel{(n\to\infty)}{\to}\frac12\cdot\frac32-\frac12\cdot(0-0)=\frac34$$

Answer 2

k^2+4k+3 = (k+3)*(k+1)

Partialbruchzerlegung !

https://www.wolframalpha.com/input?i=partial+fractions+1%2F%28%28x%2B1%29%28x%2B3%29%29

Answer 3

1. man versucht den Nenner zu faktoriesieren indem man seine Nullstellen berechne.

dann Partialbruchzerlegung, und dann sieht man sich die ersten Glieder der Reihe an und sieht wie es läuft, oder man andere die eine Summe, so dass die Summanden bis auf wenige gleich sind.

Gruß lul