Finden Sie n + 1 Vektoren aus ℝn, sodass je n dieser Vektoren eine Basis des ℝn bilden.

Question

Aufgabe:

Finden Sie n + 1 Vektoren aus ℝⁿ, sodass je n dieser Vektoren eine Basis des ℝⁿ bilden. Gilt Ihre Lösung, auch wenn man ℝⁿ durch ℂⁿ ersetzt?


Frage/Problem:
Was ist mit "Finden" gemeint? Genügt es, wenn ich Beispiele angebe? Und wie können n + 1 Vektoren im ℝⁿ eine Basis bilden? Basisvektoren müssen doch linear unabhängig sein, also "senkrecht"...


Vielen Dank
Grüße

Answer 1

Basisvektoren müssen doch linear unabhängig sein, ✓

also "senkrecht"...   Nicht unbedingt \(  \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} und \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}  \) sind lin. unabh. aber nicht senkrecht.

Was ist mit "Finden" gemeint? Genügt es, wenn ich Beispiele angebe? ✓

Und wie können n + 1 Vektoren im ℝn eine Basis bilden?

falsch gelesen: je n Stück bilden eine Basis, also wäre z.B.

 \(\begin{pmatrix} 1\\0\\0\\ \dots\\0\\0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 0\\1\\0\\ \dots \\0\\0\end{pmatrix}  , \dots, \begin{pmatrix} 0\\0\\0\\ \dots\\1\\0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 0\\0\\0\\ \dots \\0\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\1\\1\\ \dots \\1\\1\end{pmatrix} \)

eine Möglichkeit.

Comments

Danke!

also "senkrecht"...   Nicht unbedingt \(  \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} und \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}  \) sind lin. unabh. aber nicht senkrecht.

Heißt das, die Dimension eines Vektorraumes ist die Anzahl der Basisvektoren minus 1? Also \( n -1 \)? In R² In hätten wir ja dann beispielsweise \(  \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} und \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}  \) als Basisvektoren.

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Nein.

In R^2 In hätten wir ja dann beispielsweise \(  \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} und \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}  \) als eine Menge von Vektoren, wie sie in der

Aufgabe gesucht ist.

Das sind 3 Vektoren aus R^2, also n=2 und somit n+1=3.

Dann hieß es ja "sodass je n dieser Vektoren eine Basis des ℝn bilden"

Also je 2 von den dreien , also

\(  \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}   \)

und

\(  \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}  \)

und

\(   \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}  \)

bilden eine Basis von R^2.

Jede Basis hat also 2 Basisvektoren und es ist dim(R^2)=2.

Answer 2

Was ist mit "Finden" gemeint? Genügt es, wenn ich Beispiele angebe?

Ja. Ich mache das mal für n = 3 vor

[1, 0, 0] ; [0, 1, 0] ; [0, 0, 1] ; [1, 1, 1]

Jetzt sind jeweils 3 dieser 4 Vektoren eine Basis des R^3.

Unabhängig ist nicht das Gleiche wie unabhängig.

[0, 0, 1] ; [1, 1, 1] sind unabhängig aber nicht senkrecht.