Bestimmen Sie jeweils ein n , so dass sich die n -te Partialsumme vom Wert der Reihe um höchstens 10^{-3} unterscheidet.

Question

Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz:

a) \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{3 k+1} \),

b) \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{3 k^{2}-1} \).

Bestimmen Sie jeweils ein \( n \), so dass sich die \( n \)-te Partialsumme vom Wert der Reihe um höchstens \( 10^{-3} \) unterscheidet.

Comments

Informiere Dich über das Leibniz-Kriterium und die dazugehörige Fehlerabschätzung für die Partial-Summen

Answer 1

Das sind ja alternierende Reihen, die konvergieren nach Leibniz,

da die Beträge der Summanden monotone Nullfolgen bilden.

Dabei pendeln die Werte der Partialsummen um den Grenzwert herum,

also ist der Unterschied zwischen Grenzwert und Partialsumme bis n

nie größer als der Betrag des nächsten Summanden.

Also rechne einfach  \( \frac{(1)^{k}}{3 (n+1) +1} \le 10^{-3} \)

              <=>           1000  ≤   3n+4

                   <=>          996 ≤  3n

                  <=>          332 ≤  n

Comments

Muss die Ungleichung nicht umgedreht werden, nachdem du dividierst?
Also müsste es nicht folgendes sein:

<=>          332 ≥ n

---

Es wurde doch durch eine positive Zahl dividiert,

da dreht sich nichts. Nur bei negativem Divisor.