Aufgabe:
Ist 0 < a < b, so ist a2 < b2. Sind a, b > 0 mit a2 < b2, so ist a < b.Ohne die Verwendung von Satz (Ist a > 0, so ist a^−1 > 0. Ist a < 0, so ist a^−1 < 0) oder (Ist 0 < a < b, so ist a2 < b2. Sind a, b > 0 mit a2 < b2, so ist a < b).
Problem/Ansatz:
BItte um Hilfe bei dieser Frage.
Hallo
a) 0<a<b folgt 0< a+b
a2-b2=(a-b)*(a+b)<0 folgt wegen a a-b<0
das umgekehrte entsprechend. mit (a-b)<0 anfangen mit (a+b) mal-
lul
Aloha :)
zu 1) 0<a<b ⟹ a2<b20<a<b\implies a^2<b^20<a<b⟹a2<b2
Wegen a<ba<ba<b ist (b−a)>0(b-a)>0(b−a)>0. Wegen a,b>0a,b>0a,b>0 ist (a+b)>0(a+b)>0(a+b)>0, daher gilt:(b−a)⏟>0 (b+a)⏟>0>0 ⟹ b2−a2>0 ⟹ a2<b2\underbrace{(b-a)}_{>0}\,\underbrace{(b+a)}_{>0}>0\implies b^2-a^2>0\implies a^2<b^2>0(b−a)>0(b+a)>0⟹b2−a2>0⟹a2<b2
zu 2) a,b>0 ∧ a2<b2 ⟹ a<ba,b>0\;\land\; a^2<b^2\implies a<ba,b>0∧a2<b2⟹a<b
Wegen (a,b>0)(a,b>0)(a,b>0), ist (a+b)>0(a+b)>0(a+b)>0 und es gilt:a2<b2 ⟹ b2−a2>0 ⟹ (b−a)(b+a)⏟>0>0 ⟹ b−a>0 ⟹ a<ba^2<b^2\implies b^2-a^2>0\implies(b-a)\underbrace{(b+a)}_{>0}>0\implies b-a>0\implies a<ba2<b2⟹b2−a2>0⟹(b−a)>0(b+a)>0⟹b−a>0⟹a<b
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