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Aufgabe:

Ist 0 < a < b, so ist a2 < b2. Sind a, b > 0 mit a2 < b2, so ist a < b.
Ohne die Verwendung von Satz (Ist a > 0, so ist a^−1 > 0. Ist a < 0, so ist a^−1 < 0) oder (Ist 0 < a < b, so ist a2 < b2. Sind a, b > 0 mit a2 < b2, so ist a < b).


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Hallo

a) 0<a<b folgt 0< a+b

a2-b2=(a-b)*(a+b)<0 folgt wegen a  a-b<0

das umgekehrte entsprechend. mit (a-b)<0 anfangen mit (a+b) mal-

lul

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Aloha :)

zu 1) 0<a<b    a2<b20<a<b\implies a^2<b^2

Wegen a<ba<b ist (ba)>0(b-a)>0. Wegen a,b>0a,b>0 ist (a+b)>0(a+b)>0, daher gilt:(ba)>0(b+a)>0>0    b2a2>0    a2<b2\underbrace{(b-a)}_{>0}\,\underbrace{(b+a)}_{>0}>0\implies b^2-a^2>0\implies a^2<b^2

zu 2) a,b>0    a2<b2    a<ba,b>0\;\land\; a^2<b^2\implies a<b

Wegen (a,b>0)(a,b>0), ist (a+b)>0(a+b)>0 und es gilt:a2<b2    b2a2>0    (ba)(b+a)>0>0    ba>0    a<ba^2<b^2\implies b^2-a^2>0\implies(b-a)\underbrace{(b+a)}_{>0}>0\implies b-a>0\implies a<b

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