Rationalität und Irrationalität beweisen

Question

Aufgabe:

Betrachtet werden soll die Verknüpfung von zwei reellen Zahlen bezüglich der Addition und Multiplikation:

Seien x,y ∈ ℝ∗ ≔ ℝ\{0}.

Zeige: Ist x*y oder x+y eine rationale Zahl, so gilt:
x,y ∈ ℚ oder x,y ∈ ℝ\ℚ

Problem/Ansatz:

Ich nehme an, dass der Beweis über die Kontraposition funktionieren könnte. Wie kann ich hier ansetzen? Wie kann man Rationalität und Irrationalität überhaupt zeigen?

Comments

Mein Ansatz wäre folgender:

Du sagst x+y wäre rational und definierst dir so x+y=p/q weil man das rationale Ergebnis ja als Bruch schreiben kann.

Jetzt nimmst du an x ist rational (kann also als Bruch a/b dargestellt werden) und zeigst das daraus folgt, dass man y als Bruch darstellen kann.

Nun machst du den gleichen Schritt auch für die Annahme y wäre rational.

Genau gleich dann noch einmal für x*y=p/q.

LG

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Kann ich automatisch folgern dass wenn x rational ist, y auch als Bruch dargestellt werden kann? Ich muss das wahrscheinlich seperat beweisen oder?

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Ja du musst schon einmal mit x anfangen und einmal mit y, das ganze funktioniert aber zweimal genau gleich. Weil die Kommutativität von * und + gilt, genügt eigentlich sogar ein Fall, das würd ich dann aber dazusagen.

Answer 1

Seien x,y ∈ ℝ∗ ≔ ℝ\{0}.

Und ist x*y oder x+y eine rationale Zahl.

Das würde ich in 2 Fälle aufteilen:

1. Fall x*y ∈ℚ.

    Beh.:  x,y ∈ ℚ oder x,y ∈ ℝ\ℚ

          Seien   x,y ∉ ℚ. #             Dann ist zu zeigen x,y ∈ ℝ\ℚ

             Angenommen es sei x∉ℝ\ℚ, also x∈ℚ.

                   Da x≠0 gibt es x^(-1) ∈ ℚ und damit

                        gilt auch x^(-1) * ( x*y)  ∈ ℚ

                          ==>    (  x^(-1) *  x)   * y    ∈ ℚ

                        ==>    1  * y   ∈ ℚ  ==>   y   ∈ ℚ

                         Widerspruch zu   #

              Entsprechend führt auch die Annahme y∉ℝ\ℚ

               zu einem Widerspruch.

Also muss im Fall 1  x,y ∈ ℚ oder x,y ∈ ℝ\ℚ gelten.

Entsprechend Fall 2 .