Zeigen Sie, dass (P(M), Δ, ∩) ein kommutativer Ring mit Eins ist.

Question

Aufgabe:

Definiere für zwei Mengen X,Y die symmetrische Differenz XΔY := (X\Y)∪(Y\X). Sei M eine nichtleere Menge. Zeigen Sie, dass (P(M), Δ, ∩) ein kommutativer Ring mit Eins ist.

Bemerkung: Es handelt sich um einen Booleschen Ring, in dem jedes Element a idempotent ist, d.h. a²=a erfüllt.

Problem/Ansatz:

Um die Kommutativität zu zeigen, brauch ich ja nur zeigen, dass X∩Y = Y∩X ist. Da ∩ in dem Fall ja der Multiplikation entspricht oder?

Und bei Ring mit Eins bin ich mir unsicher, da a * a = a ist, ist doch rein theoretisch jedes Element zu sich selbst das neutrale Element oder? Ist das die Eins, also muss ich nur ein neutrales Element angeben oder noch etwas anderes? Das wäre ja dann X∩X=X und das stimmt ja.

Answer 1

Für die 1 brauchst du aber ein Element e, so dass für alle

X∈P(M) gilt X*e=X . Da ist wohl e=M angesagt.

Kannst auch da mal schauen:

https://www.mathelounge.de/492125/kommutativer-ring-beweis-symmetrische-differenz

Comments

Aber in dem Beispiel geht es ja um die Addition. Bei mir ist es ja die Multiplikation und wegen dem Booleschen Ring, wo es ja um die Multiplikation geht, dachte ich das X∩X=X ist.

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Für die 1 brauchst du aber ein Element e, so dass für alle

X∈P(M) gilt X*e=X . Da ist wohl e=M angesagt.