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In \( \mathbb{C}^{3} \) seien die folgenden Vektoren gegeben:

\( v_{1}=\left(\begin{array}{c}1-2 \mathrm{i} \\ 3 \mathrm{i} \\ -1+\mathrm{i}\end{array}\right), \quad v_{2}=\left(\begin{array}{c}4 \\ 0 \\ -\mathrm{i}\end{array}\right) \)  \( v_{3}=\left(\begin{array}{c}-2+\mathrm{i} \\ -3 \\ -1\end{array}\right) \)

(a) Sind \( v_{1}, v_{2}, v_{3} \) linear unabhängig?


Ansatz/ Problem:

Wie gehe ich mit der Matrix um?

a1*v1+a2*v2+a3*v3=0

1-2i4-2+i
3i0-3
-1+i-i-1

>Bedeutet eine 0-Zeile/Spalte nicht automatisch, dass die Vektoren linear abhängig sind?

> Ist die Schlussfolgerung also falsch?: V1, V2, V3 sind linear unabhängig, das a1=a2=a3=0 und somit gibt es nur die triviale Lösung

von

Du hast offenbar nur zwei der drei gegebenen Vektoren angegeben und anschließend wenigstens eine Verwechslung und einen Vorzeichenfehler gemacht.

Soll v1 = v2 sein, dann sind v1, v2 und v3 offenbar linear abhängig ....

Korrigiere dies bitte zuerst einmal .....

Ich habe versucht, es in Stufenform zu bringen. Ich hoffe, ich hab mich nicht verrechnet.

\( \begin{pmatrix} 1-2i & 4 & -2+i \\ 3i & 0 &-3 \\ -1+i&-i&-1 \end{pmatrix} \)

Zeile 1 : (1-2i)

-->\( \begin{pmatrix} 1& 4/(1-2i) & -2+i/(1-2i) \\ 3i & 0 &-3 \\ -1+i&-i&-1 \end{pmatrix} \)

Zeile 2*(-1+i) - Zeile 3* (3i)

-->\( \begin{pmatrix} 1& 4/(1-2i) & -2+i/(1-2i) \\ 0 & -3 &1-3i \\ -1+i&-i&-1 \end{pmatrix} \)

Zeile 2 : (-3)

-->\( \begin{pmatrix} 1& 4/(1-2i) & -2+i/(1-2i) \\ 0 & 1 &1-3i/(-3) \\ -1+i&-i&-1 \end{pmatrix} \)

Zeile 3-Zeile1*(-1+i)

-->\( \begin{pmatrix} 1& 4/(1-2i) & -2+i/(1-2i) \\ 0 & 1 &1-3i/(-3) \\ 0&2-5i/(1-2i)&-2+5i/(1-2i) \end{pmatrix} \)
Zeile 3-Zeile2* \( \frac{2-5i}{1-2i} \)

-->\( \begin{pmatrix} 1& 4/(1-2i) & -2+i/(1-2i) \\ 0 & 1 &1-3i/(-3) \\ 0&0&\frac{11-42i}{9+12i} \end{pmatrix} \)

Zeile 3 : \( \frac{11-42i}{9+12i} \)

-->\( \begin{pmatrix} 1& 4/(1-2i) & -2+i/(1-2i) \\ 0 & 1 &1-3i/(-3) \\ 0&0&1 \end{pmatrix} \)


Ist das richtig?Wie werte ich das aus?

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