Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass f(n)=a^{n} für alle n ∈ ℕ gilt.

Question

Aufgabe:

1.Sei \( f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \) mit \( f(m+n)=f(m) \cdot f(n) \) für alle \( m, n \in \mathbb{N} \) und sei \( f(1)=a \). Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass \( f(n)=a^{n} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \) gilt.
\( n \in \mathbb{N} \) gilt:
Sei \( x \geq-1 \). Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle \( (1+x)^{n} \geq 1+n x \).
Bemerkung: Diese Ungleichung wird Bernoullische Ungleichung genannt.

Answer 1

Hallo

das erste ist so leicht, du musst doch nur f(1)=a (für dich zum Überzeugen noch f(2)=f(1+1)=f(1)*f(1)=a^2

jetzt von f(n)?a^n auf f(n+1)zu schliessen  solltest du können

b) wieder Induktion , richtig für n=0 dann die Induktionsvors auf beiden Seiten mal 1+x rechts ausmultiplzieren  und fast fertig,

lul