Aufgabe:
0 < k < an < K für alle natürliche Zahlen s,S sind reelle Zahlen größer 0
\( \lim\limits_{n\to\infty} \) \( \sqrt[n]{an} \) = 1
Ist dann k = 0?
Problem/Ansatz:
Folge als konstant betrachten
Wenn Du voraussetzt, dass 0<k ist, wie kannst Du dann fragen ob k=0 ist?
Ist dies dann möglich, dass k=0?
Bzw. ist diese Aussage auch noch richtig wenn k=0 ist?
offensichtlich nicht: \(a_n=(1/n)^n\)
Ich nehme mal an, die k und K und die s und S sind die gleichen.
Also gilt an liegt für alle n zwischen den beiden positiven Werten
s und S. Dann gilt für alle n \( \sqrt[n]{s} \le \sqrt[n]{a_n} \le \sqrt[n]{S} \)
Die Folgen rechts und links haben den Grenzwert 1, also die mittlere auch.
D.h. s= 0 ist nicht möglich?
...s,S sind reelle Zahlen größer 0.
Also ist das nicht Thema.
Die Frage lautet weiter noch, ob die Aussage immer noch richtig ist, wenn s=0?
Da wäre 1/2^n ein Gegenbeispiel.
Es ist zwar immer 0<1/2^n < 2
aber \( \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim\limits_{n\to\infty} {1/2} \) = 1/2
Ist somit gezeigt, dass \( \lim\limits_{n\to\infty} \) \( \sqrt[n]{an} \) = 1 gilt?
Lies dazu die Ausführungen von mathef
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