Grenzwert einer konvergenten Folge

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

\( \sqrt[3]{\frac{1}{n^{2}} \cdot\left(\frac{n^{2}+n+1}{n+1}+23 n\right)^{2}} \)

Problem/Ansatz:

Ich berechne immer wieder den Grenzwert 0, ist das korrekt?

Answer 1

Aloha :)

Nein, da musst du irgendwo einen Bug in deiner Rechnung haben.

Wir lassen die Wurzel erstmal weg und vereinfachen den Radikand:

$$\phantom{=}\frac{1}{n^2}\left(\frac{n^2+n+1}{n+1}+23n\right)^2=\left(\frac{1}{n}\left(\frac{n^2+n+1}{n+1}+23n\right)\right)^2=\left(\frac{n^2+n+1}{n^2+n}+\frac{23n}{n}\right)^2$$$$=\left(\frac{n^2+n}{n^2+n}+\frac{1}{n^2+n}+23\right)^2=\left(1+\frac{1}{n^2+n}+23\right)^2=\left(24+\frac{1}{n^2+n}\right)^2$$

Jetzt nehmen wir die Wurzel hinzu:$$a_n=\sqrt[3]{\left(24+\frac{1}{n^2+n}\right)^2}=\left(24+\frac{1}{n^2+n}\right)^{2/3}\to24^{2/3}=(8\cdot3)^{2/3}=4\cdot3^{2/3}=\frac{12}{\sqrt[3]{3}}$$

Comments

Danke, für die schnelle Antwort!^^

Answer 2

Hallo

nein!  und durch "immer wieder wird's nicht besser. Zieh das 1/n^2 in die Klammer (--)^2 als 1/n dann den Bruch durch n^2 kürzen  usw.

Gruß lul