Wie finde ich heraus, ob A invitierbar ist?

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Wie finde ich heraus, ob A invitierbar ist? Und ich brauche auch Hilfe bei b). Es wäre toll, wenn Tschakabumba helfen könnte.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wir betrachten die Matrix:$\quad A=\left(\begin{array}{rr}0 & -1\\1 & 0\end{array}\right)$

Hier musst du eigentlch nur $A^2$ tatsächlich ausrechnen:$$A^2=\left(\begin{array}{rr}0 & -1\\1 & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}\green{0} & \red{-1}\\\green1 & \red0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r|r}\green0\!\cdot\!\binom{0}{1}+\green{1}\!\cdot\!\binom{-1}{0} & \red{(-1)}\!\cdot\!\binom{0}{1}+\red{0}\!\cdot\!\binom{-1}{0}\end{array}\right)$$$$\phantom{A^2}=\left(\begin{array}{rr}-1 & 0\\0 & -1\end{array}\right)=-\left(\begin{array}{rr}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right)=-\mathbf{1}$$$A^2$ ist also die 2x2-Einheitsmatrix $\mathbf 1$ mit negativem Vorzeichen.

Da die Multiplikation einer Matrix $M$ mit der Einheitsmatrix $\mathbf 1$ an der Matrix nichts ändert, sind die anderen geforderten Potenzen klar.$$A^3=A^2\cdot A=-\mathbf 1\cdot A=-A=\left(\begin{array}{rr}0 & 1\\-1 & 0\end{array}\right)$$$$A^4=A^2\cdot A^2=(-\mathbf 1)\cdot(-\mathbf 1)=\mathbf 1$$

Wir fassen zusammen:$\quad A^2=-\mathbf 1\quad;\quad A^3=-A\quad;\quad A^4=\mathbf 1$

Die Matrix $A$ ist invertierbar, denn$$A^4=\mathbf 1\implies A^3\cdot A=\mathbf 1\implies(-A)\cdot A=\mathbf 1$$$$A^4=\mathbf 1\implies A\cdot A^3=\mathbf 1\implies A\cdot(-A)=\mathbf 1$$Die Inverse zur Matrix $A$ ist $(-A)$.

Rein Formal kannst du die Invertierbarkeit einer Matrix mit ihrer Determinante überprüfen. Die Determinante einer $n\times n$-Matrix gibt das $n$-dimensionale Volumen an, das ihre Spaltenvektoren aufspannen. Wenn die Determinante $=0$ ist, wird der $n$-dimensionale Raum von den Spaltenvektoren nicht vollständig aufgespannt. Du verlierst dann von den $n$ Dimensionen eines Eingangsvektors die Information über mindestens 1 Dimension. Diese Information fehlt dir dann für eine mögliche Rücktransformation.

Merke: Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante $\ne0$ ist.

Im Teil (b) sollen wir einen Teilraum näher betrachten$$T=\operatorname{span}(A,A^2,A^3,A^4,A^5,A^6,A^7,A^8,A^9,A^{10})$$Die ersten 4 Elemente haben wir in Teil a) schon bestimmt. Es fehlen noch:$$A^5=A^4\cdot A=\mathbf 1\cdot A=A$$$$A^6=A^4\cdot A^2=\mathbf 1\cdot(-\mathbf 1)=-\mathbf 1$$$$A^7=A^4\cdot A^3=\mathbf 1\cdot(-A)=-A$$$$A^8=A^4\cdot A^4=\mathbf 1\cdot\mathbf 1=\mathbf 1$$$$A^9=A^8\cdot A=\mathbf 1\cdot A=A$$$$A^{10}=A^8\cdot A^2=\mathbf 1\cdot(-\mathbf 1)=-\mathbf 1$$

Das tragen wir oben ein:$$T=\operatorname{span}(A,(-\mathbf 1),(-A),\mathbf 1,A,(-\mathbf 1),(-A),\mathbf 1,A,(-\mathbf 1),(-A))$$schmeißen die Doppelten raus:$$T=\operatorname{span}(A,(-\mathbf 1),(-A),\mathbf 1)$$und entfernen alle Elemente, die bis auf einen konstanten Faktor mit einem anderen Element übereinstimmen:$$T=\operatorname{span}(A,\mathbf 1)$$

Die Matrix $A$ und die Einheitsmatrix $\mathbf 1$ lassen sich nicht durch die Multiplikation von einer der beiden mit einem Faktor in die andere überführen, sind also linear unabhängig. Der Teilraum $T$ hat also zwei Basis-Elemente (in diesem Fall Matrizen) und die Dimension $2$.

Answer 2

Wie finde ich heraus, ob A invitierbar ist?

Die Matrix A ist invertierbar wenn ihre Determinante nicht $0$ ist.