Lösung bestimmen (Anfangswertproblem)

Question

Aufgabe:

Hallo!

Ich soll die Lösung folgender Anfangswertprobleme bestimmen. Aber wie soll das hier in diesem Fall funktionieren? Ich muss ja zuerst den x-abhängigen Teil auf eine Seite und den z-abhängigen Teil auf die andere Seite bringen. Aber wie löse ich das am besten?

A) \( z^{\prime}(x)=\frac{1}{x} \frac{1-z(x)}{1+z(x)}, z(1)=0 \)

Answer 1

Hallo,

Ich muss ja zuerst den x-abhängigen Teil auf eine Seite und den z-abhängigen Teil auf die andere Seite bringen. ->Richtig

Lösung durch "Trennung der Variablen"

-z - 2 ln|z-1| =ln|x| +C (implizite Darstellung der Lösung )

da durch 1-z dividiert wird, gilt: 1-z=0 -->z=1 ist auch eine Lösung.

AWB: z(1)=0:

-0 - 2 ln|0-1| =ln|1| +C ; ln(1)=0

C=0

->Lösung in impliziter Darstellung:

-z - 2 ln|z-1| =ln|x|

Comments

Hallo Grosserloewe, danke für deine Hilfe!

Aber ich habe den unteren Teil (ab der impliziten Darstellung) leider noch nicht verstanden. Könntest du mir das genauer erklären? Von wo kommt beispielsweise -z-2 ln(z-1)?

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Hier stand etwas Fslsches ,

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Ich habe z(1)=0 in die Lösung eingesetzt

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Ich habe die Aufgabe leider noch nicht verstanden. Du hast ja die gescannte Datei hochgeladen. Ab da komme ich nicht weiter. Ich weiß auch wie man auf die Stammfunktion -z-2ln(z-1) kommt, aber dann bin ich ausgestiegen. Könntest du's bitte noch einmal schrittweise erklären, wenn es für dich nicht umständlich ist? (also ab der impliziten Darstellung). Ich glaube das Zusammenfassen der log Funktionen haben mir Schwierigkeiten bereitet..

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-z - 2 ln|z-1| =ln|x| +C (implizite Darstellung der Lösung )

Einsetzen der Anfangsbedingung : z(1)=0

-z - 2 ln|z-1| =ln|x| +C

-0 -2 ln| 0-1| = ln|1| +C

-0 -2 ln| -1| = ln|1| +C

-0 -2 ln (1) = ln|1| +C  , allgemein gilt: ln(1)=0

-0 -2 *0 = 0 +C

-->C=0 ->in die Lösung einsetzen:

-z - 2 ln|z-1| =ln|x| +C

-z - 2 ln|z-1| =ln|x| +0

-->Lösung mit Anfangsbedingung:  -z - 2 ln|z-1| =ln|x|

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Super, vielen vielen Dank für deine ausführliche Erklärung und für deine Zeit!! Wirklich sehr nett von dir!

Ich hätte dazu noch paar Fragen: Können wir die Funktion auch nach z umformen?

Und ich hab‘ die Aufgabe anders gerechnet, da wir in der VO einen anderen Rechenweg gewählt haben, aber im Endeffekt kommt man auf die gleiche Lösung. Könntest du auch hier einen Blick werfen?

\( \begin{array}{l} z^{\prime}(x)=\frac{1}{x} \frac{1-z(x)}{1+z(x)}, z(1)=0 \\ z^{\prime}(x) \cdot \frac{1+z(x)}{1-z(x)}=\frac{1}{x} \\ \int \limits_{1}^{x} z^{\prime}(x) \cdot \frac{1+z(u)}{1-z(u)} d x=\int \limits_{0}^{z(x)} \frac{1+\mu}{1-\mu} d u=-u-2 \ln |\mu-1| \\ =-z(x)-2 \ln |z(x)-1|-(-0-2 \ln |-1|) \\ \begin{array}{l} z^{\prime}(u)=\mu \\ z^{\prime}(u) d x=d u \quad=-z(x)-2 \ln |z(x)-1| \end{array} \\ \int \limits_{1}^{x} \frac{1}{4} d x=\left.\ln |4|\right|_{1} ^{x}=\ln |x|-\ln |1|=\ln |x| \\ -z(x)-2 \ln |z(x)-1|=\ln |x| \\ \end{array} \)

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1.)Können wir die Funktion auch nach z umformen? nein , das geht nicht.

Das Ergebnis kannst Du so in impliziter Form stehen lassen.

Nach z umformen ist nur über die Lambert W - Funktion möglich, ist aber meistens nicht Bestandteil der Ausbildung und somit nicht nötig.

2. das passt so

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Besten Dank!