Aloha :)
Das Cauchy-Produkt liefert:i=0∑∞xik=0∑∞xk=n=0∑∞i+k=n∑xixk=n=0∑∞k=0∑nxn−kxk=n=0∑∞k=0∑nxn=n=0∑∞xnk=0∑n1=n=0∑∞xn(n+1)
Für ∣x∣<1 gilt der Grenzwert der konvergenten geometrische Reihe:i=0∑∞xi=1−x1
Daher gilt für ∣x∣<1:n=0∑∞(n+1)xn=(1−x1)2
Durch die noch notwendige Indexverschiebung kommt der Faktor x in den Zähler:n=1∑∞nxn=n=1−1∑∞(n+1)xn+1=x⋅n=0∑∞(n+1)xn=x⋅(1−x1)2=(1−x)2x