Zeigen Sie : cauchy-Produkt

Question

Aufgabe: Sei x ∈ ℝ mit  |x| < 1. Zeigen Sie :

$$\sum \limits_{n=1}^{\infty}$$kx^k = x/ (1-x)²


wobei die Reihe absolut konvergent ist.

Mein Ansatz:

Ich habe das Cauchy-Produkt gebildet.

<sub>Fogendes habe ich als Ergebnis bekommen :

∑∑kx</sub>ⁱ _{* kx}^k-i

∑1 ∑kx^k

∑ (k + 1) kx^k

Geometrische Summenformel:

∑ x^k  ∑ kx^k. = x/ 1 - x    *.    1/ 1- x  

= x / (1- x )²


irgentwie habe ich aber das Gefühl , dass das Falsch ist.
mich hat verwirrt , das x^k die geometrische Summe. 1/ 1- x ist , deswegen ist es mir ein Rätsel wie die x in den Zähler kommt.

Danke für die Hilfe

sorry für die Darstellung kommen noch nicht so ganz zurecht mit den Tools

Answer 1

Aloha :)

Das Cauchy-Produkt liefert:$$\small\sum\limits_{i=0}^{\infty}x^i\sum\limits_{k=0}^{\infty}x^k=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\sum\limits_{i+k=n}x^ix^k=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\sum\limits_{k=0}^nx^{n-k}x^k=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\sum\limits_{k=0}^nx^{n}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n\sum\limits_{k=0}^n1=\sum\limits_{n=0}^\infty x^n(n+1)$$

Für $|x|<1$ gilt der Grenzwert der konvergenten geometrische Reihe:$\quad\sum\limits_{i=0}^\infty x^i=\frac{1}{1-x}$

Daher gilt für $|x|<1$:$$\sum\limits_{n=0}^\infty(n+1) x^n=\left(\frac{1}{1-x}\right)^2$$

Durch die noch notwendige Indexverschiebung kommt der Faktor $x$ in den Zähler:$$\sum\limits_{n=1}^\infty nx^n=\sum\limits_{n=1-\pink1}^\infty (n\pink{+1})x^{n\pink{+1}}=x\cdot\sum\limits_{n=0}^\infty(n+1)x^n=x\cdot\left(\frac{1}{1-x}\right)^2=\frac{x}{(1-x)^2}$$

Comments

Danke schönen Sonntag dir