Zeigen Sie, dass die folgenden verschiedenen Reihen konvergieren, das Cauchy-Produkt jedoch nicht

Question

Aufgabe:

$$\text{ Beweisen Sie, dass folgende Reihen (A,B) konvergent sind,das Cauchy Produkt aber divergent ist} \\ A=\sum \limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{\sqrt[]{k+1}} \\ B=\sum \limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{\sqrt[3]{k+1}} $$

Problem/Ansatz:

Meine Idee wäre erstmal anhand des Leibnizkriteriums die Konvergenz der Reihen A,B  zeigen. (Wichtig dabei ist, dass das Leibnizkriterium nur über die Konvergenz Informationen geben kann, aber nicht über die Absolute Konvergenz)

Danach würde ich die Cauchy Produktformel unter Annahme benutzen, dass beide Reihen absolut konvergieren.

Dann zeige ich, dass das Cauchy Produkt divergiert, was dazu führt dass quasi meine Annahme ''A & B konvergieren absolut'' falsch sei. Damit denke wäre die Aufgabenstellung erfüllt.

Ich brauche folgende Hilfe:

1) Könnte mir jemand anhand einer der Reihen das Leibnitzkriterium anwenden? Ich bin leider noch nicht ganz mit diesem Kriterium geübt, sodass ich die Erkenntnis auf die andere Reihe übertragen kann.

2) Kann jemand mir helfen bei der Cauchy Produktformel mein Beweis auszuführen? Ich bin da leider hängengeblieben:

$$\\ C=\sum \limits_{k=0}^{n} A_k*B_{n-k} \\\sum \limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{\sqrt[]{k+1}} *\frac{(-1)^n-k}{\sqrt[3]{n-k+1}} \\=(-1)^n*\sum \limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt[]{k+1}*\sqrt[3]{n-k+1}} $$

P.S

Mir ist bekannt, dass schon eine ähnliche Frage hier im Forum existiert:

https://www.mathelounge.de/29793/zeigen-folgenden-reihen-konvergieren-cauchy-produkt-jedoch

Ich habe mir diese Frage schon angesehen, jedoch könnte sie mir nicht weiter helfen weil:

1) Meine Voraussetzungen sind anders

2) Ich habe schon die grobe Idee wie ich vorgehen soll, im Gegensatz zum der Frage, die schon gestellt wurde. Mir fehlen jedoch die ''Tools'' ( Anwendung des Leibnitzkriteriums , sowie die Durchführung der Cauchy-Produkt Formel da ich da ab einem gewissen Punkt nicht weiter komme)

Comments

Schau vielleicht auch hier: https://www.mathelounge.de/72822/zeigen-dass-cauchy-produkt-folgender-reihe-selbst-divergiert.

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Vielen Dank Spacko, dass ist auf jedenfall schonmal hilfreich was die Anwendung der Cauchy-Produkt formel betrifft.

Ich habe jedoch eine Frage dazu in meine speziellen Fall:

Wie mache aus:

$$\sqrt{k+1}*\sqrt[3]{n-k+1}$$

dies:

$$ \sqrt{(k+1)* (n-k+1)}$$

Und wie wird das Leibnitz kriterium angewendet anhand eines beispiel? (Damit ich auf die Konvergenz meiner gegebenen Reihen schließen kann)

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Es ist \(\sqrt[3]{n-k+1}\le\sqrt{n-k+1}\). Daher folgt die Divergenz der Reihe aus der Divergenz der Reihe aus dem Link.
Das Leibniz-Kriterium besagt, dass die alternierende Reihe einer monoton fallenden Nullfolge konvergiert. Beispielsweise konvergiert \(\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\frac1{n+1}\), denn \(\{\frac1{n+1}\}_{n\ge0}\) ist eine monoton fallenden Nullfolge. Man beachte, dass die Konvergenz dieser Reihe nicht absolut ist.