Aufgabe: Es handelt sich wieder um Anfangswertprobleme. Ich habe weitere Aufgaben dazu gelöst. Könnte wieder jemand einen Blick werfen?
Ansatz:
d)
\( \left(1+e^{(x)}\right) y^{\prime}(x)=\cos (x), \quad y\left(\frac{\pi}{2}\right) \)
l)
\( \begin{array}{l} y^{\prime}(x)=\frac{y(x)^{2} \cdot(x-3)}{x^{3}}, y(1)=1 \\ \frac{y^{\prime}(x)}{y(x)^{2}}=\frac{x-3}{x^{3}} \\ \int \limits_{1}^{x} \frac{y^{\prime}(t)}{y(t)^{2}} d t=\int \limits_{1}^{x} \frac{t-3}{t^{3}} \end{array} \)
\( \begin{array}{l} y(t)=z \quad \text { Grenzen: } x \mapsto y(x) \\ y^{\prime}(t) d t=d z \quad \hat{x} \quad \hat{y}(t)=1 \\ \int \limits_{y(y)=1}^{y(x)} \frac{1}{z^{2}} d z=-\left.\frac{1}{z}\right|_{1} ^{y(x)}=-\frac{1}{y(x)}+\frac{1}{1} \\ \int \limits_{1}^{x} \frac{t-3}{t^{3}} d t=\int \limits_{1}^{x}\left(\frac{t}{t^{32}}-\frac{3}{t^{3}}\right) d t=\int \limits_{1}^{x}\left(\frac{1}{t^{2}}-\frac{3}{t^{3}}\right) d t=-\frac{1}{t}+\left.\frac{3}{2 t^{2}}\right|_{1} ^{x} \\ =-\frac{1}{x}+\frac{3}{2 x^{2}}-\left(-1+\frac{3}{2}\right) \\ =-\frac{1}{x}+\frac{3}{2 x^{2}}-\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{y(x)}+1=-\frac{1}{x}+\frac{3}{2 x^{2}}-\left(\frac{1}{2}\right) \\ -\frac{1}{y(x)}=-\frac{1}{x}+\frac{3}{2 x^{2}}-\frac{3}{2} \\ \frac{1}{y(x)}=\frac{1}{x}-\frac{5}{2 x^{2}}+\frac{3}{2} \\ y(x)=\frac{1}{\frac{1}{x}-\frac{8}{x^{2}}+\frac{3}{2}}=x-\frac{x^{2}}{3}+\frac{2}{3} \\ \end{array} \)
n)
\( \begin{array}{l} y^{\prime}(x)=-\frac{x}{y(x)-3}, y(0)=1 \\ y^{\prime}(x) \cdot(y(x)-3)=-x \\ \int \limits_{0}^{x} y^{\prime}(t)(y(t)-3) d t=-\int \limits_{0}^{x} t d t \\ y(t)=z \\ y^{\prime}(t) d t=d z \end{array} \)
\( \begin{array}{l} \int \limits_{1}^{y(t)}(z-3) d z=\frac{z^{2}}{2}-\left.3 z\right|_{1} ^{y(t)}=\frac{y(t)^{2}}{2}-3 y(t)-\frac{1}{2}+3 \\ -\int \limits_{0}^{x} t d t=-\left.\frac{t^{2}}{2}\right|_{0} ^{x}=-\frac{x^{2}}{2} \\ \frac{y(t)^{2}}{2}-3 y(t)-\frac{1}{2}+3=-\frac{x^{2}}{2} \\ \frac{y(t)^{2}}{2}-3 y(t)=-\frac{x^{2}}{2}-\frac{5}{2} \end{array} \)
Ich habe hier einen anderen Rechenweg gewählt, da wir auch in der Stunde so vorgegangen sind.
