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Aufgabe:

Taylorreihen-Ansatz.
Verwenden Sie den Taylorreihen-Ansatz um die folgenden Anfangswertprobleme zu gewöhnlichen Differentialgleichungen zu lösen. Dabei sind alle Koeffizienten in der Taylorreihe zu bestimmen.
Versuchen Sie falls möglich eine Formel der Lösung aus der Reihe zu erkennen.
a) y´ = y + 1 + 2x,       y(0) = −2
b) y´´ + xy´+ y = 0,      y(0) = 1,     y´(0) = 0



Hallo zusammen, könnte mir jemand helfen bitte?

Vielen Dank im Voraus! :)

vor von

1 Antwort

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Ich zeige mal (a), die andere geht genauso.

Sei $$ y(x) = \sum_{k=0}^\infty a_k x^k $$ dann gilt $$ y'(x) = \sum_{k=0}^\infty a_k k x^{k-1} = \sum_{k=0}^\infty a_{k+1}(k+1)x^k $$

Einsetzen in die Dgl. liefert

$$ (1) \quad \sum_{k=0}^\infty a_k k x^{k-1} = \sum_{k=0}^\infty a_{k+1}(k+1)x^k =\sum_{k=0}^\infty a_k x^k + 1 +2x $$

Aus \( y(0) = -2 \) folgt sofort \( a_0 = -2 \)

Aus (1) folgt durch vergleich der Potenzen von \( x \)

$$ (2) \quad a_1 = a_0 +1 = -1 $$

$$ (3) \quad a_2 = \frac{1}{2!} $$

$$ a_3 = \frac{1}{3!} $$

Im allgemeinen gilt für \( k\ge 2 \)

$$ (4) \quad a_{k+1} = \frac{a_k}{k+1}  $$

D.h. $$ y(x) = -2 - x + \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k!} x^k = e^x -3 -2x $$

vor von 33 k

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