Untervektorräume und Spiegelung

Question

Aufgabe:

1. Wir bezeichnen mit S: R--> R die Spiegelung der reellen Achse am Punkt 1, zum Beispiel wird 0 auf 2 abgebildet und umgekehrt 2 auf 0. Geben Sie eine Formel für die Abbildung S an: x--> S(x) = ....

2. Wir betrachten die Teilmenge U c Abb(R,R), die genau aus den Funktionen f: R-> R besteht, die bei jedem Punkt x den gleichen Wert, wie an dem mit S gespiegelten Punkt S(x) annehmen. Beschreiben Sie die Menge U mit mathematischen Symbolen: U=(f c Abb (R,R) / ....)

3. Geben Sie wenigstens zwei Funktionen f, g an, die in U erhalten und außerdem im R-Vektorraum Abb (R,R) linear unabhängig sind. Weisen Sie die Eigenschaften von f,g nach.

4. Ist U c Abb(R,R) ein Untervektorraum? Begründen Sie.

Comments

... , die bei jedem Punkt x den gleichen Wert, wie an dem mit S gespiegelten Punkt S(x) annehmen.

Ist das der Aufgabentext im Original?

---

Ja, das ist die genaue Aufgabenstellung

---

meines Erachtens gibt es dann nur genau die eine Funktion \(S(x)=2-x\), nur macht dann die ganze Aufgabe irgendwie keinen Sinn. Aber vielleicht verstehe ich diesen Satz auch nicht ... ?

---

Ich bin selber etwas verwirrt. Kannst du mir sagen, wie du auf 2-x kommst?

---

Kannst du mir sagen, wie du auf 2-x kommst?

Na ja - das ist der eher trivale Teil der Aufgabe. Wenn man eine Spiegelung eines beliebigen Punktes \(x\)  an einem Punkt \(q\) durchführt, dann ist der gespiegelte Punkte \(x'\) doch genauso weit von \(q\) entfernt, wie \(x\) selbst; nur auf der anderen Seite, d.h mit anderem Vorzeichen - also$$\begin{aligned} x' - q &= q - x &&|\,+q \\ x' &= 2q-x\end{aligned}$$Und für \(q=1\) (in \(\mathbb{R}^{1}\)) kommt da \(x'=2-x\) raus. Es gilt aber genauso für \(\mathbb{R}^{n}\).

---

Stimmt, dankeschön. Ich wusste, ich denke zu kompliziert