Beweis zu endlichem Wahrscheinlichkeitsraum

Question

Aufgabe:

Satz 6.3 Es sei \( (\Omega, P) \) ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und \( A, B, A_{1}, \ldots, A_{n} \subset \Omega \). Dann gilt Folgendes
1. \( P(\emptyset)=0 \)
2. \( P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B) \),
3. \( P(A)=1-P(\Omega \backslash A)=1-P\left(A^{c}\right) \),
4. falls \( A \subset B \), so gilt \( P(B \backslash A)+P(A)=P(B) \),
5. falls \( A \subset B \), so gilt \( P(A) \leq P(B) \),
6.
\( P\left(\bigcup_{j=1}^{n} A_{j}\right) \leq \sum \limits_{j=1}^{n} P\left(A_{j}\right), \)
7. ist \( A_{j} \cap A_{k}=\emptyset \) für alle \( j \neq k \) (paarweise disjunkt), dann gilt
\( P\left(\bigcup_{j=1}^{n} A_{j}\right)=\sum \limits_{j=1}^{n} P\left(A_{j}\right) \)

Problem/Ansatz:

Könnte mir jemand eventuell Punkt 2 beweisen

Answer 1

Die Mengen \(M_1 = A\setminus (A\cap B)\), \(M_2 = (B\setminus (A\cap B)\) und \(M_3 = A\cap B\) sind disjunkt und es gilt

        \(\begin{aligned}A &= M_1\cup M_3\\B &= M_2\cup M_3\\A\cup B &= M_1\cup M_2\cup M_3\end{aligned}\)

Answer 2

Aloha :)

Die Schnittmenge \((A\cap B)\) ist sowohl in \(A\) als auch in \(B\) enthalten:

$$A=(A\setminus B)\,\dot\cup\,(A\cap B)$$$$B=(B\setminus A)\,\dot\cup\,(A\cap B)$$

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten \(p(A)+p(B)\) enthält daher die Wahrscheinlichkeit \(p(A\cap B)\) doppelt, sodass sie bei der Wahrscheinlichkeit für die Vereinignungsmenge \(p(A\cup B)\) ein Mal subtrahiert werden muss:$$p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$$