Berechnen Sie das unbestimmte Integral ∫ dx 1/(1+x²) mit Hilfe der Substitution x = tan(u)

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie das unbestimmte Integral  ∫ dx 1/(1+x²)
mit Hilfe der Substitution x = tan(u)

Ich weiß, dass das arctan ist jedoch nicht wie ich da durch Substitution drauf komme kann mir jemand helfen?

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Der Koch hat das Rezept zur Lösung des Integrals$$I=\int\frac{1}{1+x^2}\,dx=\;?$$ja bereits vorgegeben. Wir substituieren daher:$$\pink{x(u)=\tan u}=\frac{\sin u}{\cos u}$$und bestimmen die Ableitung $\frac{dx}{du}$ mit Hilfe der Quotientenregel:$$\green{\frac{dx}{du}}=\frac{\cos u\cos u-\sin u(-\sin u)}{\cos^2u}=\frac{\cos^2u+\sin^2u}{\cos^2u}=\frac{\cos^2u}{\cos^2u}+\frac{\sin^2u}{\cos^2u}=\green{1+\tan^2u}$$

Das bedeutet für das Integral:$$I=\int\frac{1}{1+\pink x^2\pink{(u)}}\,\green{\frac{dx}{du}}\,du=\int\frac{1}{1+\pink{\tan}^2\pink u}\,\green{(1+\tan^2u)}\,du=\int du=u+C$$

Mit $\pink{x(u)=\tan u}$ bzw. $u=\arctan(x)$ können wir "zurück" substituieren und erhalten:$$\int\frac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan(x)+C$$

Answer 2

$\int \frac{1}{1+x^2 } dx$ mit x=tan(u) und dx = (1+tan^2(u) ) du

hast du  $=\int \frac{1}{1+tan(u) ^2 } (1+tan^2(u) ) du = \int 1 du = u$

Und wegen x=tan(u) ist u=arctan(x).