Zeigen Sie, dass die Funktionen fn stetig sind.

Question

Aufgabe:

Sei (f_n)_n∈ℕ  eine Funktionenfolge mit f_n : ℝ → ℝ

f_n(x) = $\frac{nx}{1+|nx|}$

Zeigen Sie, dass die Funktionen f_n stetig sind. Sind sie auch gleichmäßig stetig? Was ist der punktweise Grenzwert der Folge?

Problem/Ansatz:

Bei mir haptert es bei den Umformungen, so dass ich nicht abschätzen kann nach δ. Die Beträge stören da sehr.

Answer 1

Stetigkeit an einer Stelle a.

Betrachte | f_n(x)-f_n(a) | < ε

<=>    $|\frac{nx}{1+|nx|} - \frac{na}{1+|na|}| < \varepsilon$

<=>    $|\frac{nx(1+|na|)-na(1+|nx|)}{(1+|na|)(1+|nx|)|} < \varepsilon$

Dann musst du wohl Fallunterscheidungen treffen:

1. Fall: a>0, dann ist bei hinreichend kleinem δ (was noch zu wählen ist)

                 auch x>0. Also fallen die Beträge bei na und nx weg

               und es bleibt nach Berechnung der Bruchdifferenz

         $|\frac{nx-na}{(1+nx)(1+na)} | < \varepsilon$

<=>    $\frac{n|x-a|}{(1+nx)(1+na)} < \varepsilon$

Nun ist ja für positives x und a (und n sowieso)

1+nx > 1   und   1+na > 1  also der Nenner >1 und damit

der Wert des Bruches kleiner als der Zähler und es reicht

das δ so zu wählen, dass $n|x-a|< \varepsilon$ gilt

bzw.          $|x-a|< \frac{\varepsilon }{n}$

Da wäre also     $δ= \frac{\varepsilon }{n}$ eine

sinnvolle Wahl. Damit (s.o.) auch x positiv garantiert ist,

muss auch   $δ \lt a$ gelten, also wäre   $δ = min( a, \frac{\varepsilon }{n} )$

ein geeignetes   $δ$ damit | x - a | < δ ==>    | f_n(x)-f_n(a) | < ε  gilt.

So ähnlich wird es wohl für a<0 und für a=0 auch klappen.

Comments

Die Zeile mit dem zweiten Doppelpfeil kommt mir merkwürdig bis falsch vor. Sollte da nicht ein einzige Bruch stehen?

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Da hast du recht, ich korrigiere das.