Überprüfen Sie die Funktion auf Surjektivität, Injektivität und Bijektivität

Question

Hallo in die Runde,

Ich habe die Funktion f(x)=ln(1+x²) gegeben und soll diese Funktion auf Surjektivität, Injektivität und Bijektivität überprüfen. Wie mache ich das?

f:ℝ->ℝ

Answer 1

Aloha :)

Injektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal getroffen wird.

Hier ist jedoch $f(-1)=\ln(2)=f(1)$. Der Wert $\ln(2)$ aus der Zielmenge wird also mehr als 1-mal getroffen, sodass die Funktion nicht injektiv ist.

Wenn du kein Gegenbeispiel findest und den Verdacht hast, dass eine Funktion injektiv ist, nimm an, es gibt zwei Argumente $x$ und $y$, die dasselbe Ziel treffen $f(x)=f(y)$. Folgere dann daraus, dass $x=y$ sein muss.

Surjektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge mindestens 1-mal getroffen wird.

Hier sind jedoch alle Argumente $(1+x^2)$ der Logarithmusfunktion $\ge1$. Daher ist $f(x)\ge0$ für alle $x\in\mathbb R$. Wäre die Zielmenge nun $\mathbb R^{\ge0}$, wäre die Funktion tatsächlich surjektiv. Aber die Zielmenge ist ganz $\mathbb R$. Du kannst also sagen, dass z.B. das Element $(-1)$ der Zielmenge nicht getroffen wird. Die Funtion ist also nicht surjektiv.

Wenn du kein Gegenbeispiel findest und den Verdacht hast, dass eine Funktion surjektiv ist, greif dir einen Wert $y$ beliebig aus der Zielmenge heraus und zeige, dass es ein $x$ aus der Definitionsmenge gibt, das dieses $y$ trifft.

Bijektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge genau 1-mal getroffen wird. Das heißt, eine Funktion ist genau dann bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist. Daher ist $f(x)$ nicht bijektiv.

Comments

Hallo, vielen Dank. Eine Frage hätte ich noch. Wenn man den Wertebereich der Funktion auf w=ℝ^≥0 setzt. Mach dies dann einen Unterschied, was die Surjektivität angeht? Ja oder? Dann müsste die Funktion surjektiv sein oder?

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Ja genau so ist es, deswegen muss man sich zur Beurteilung der Surjektivität immer die Zielmenge ganz genau ansehen.