Parameter X, Y und Z sollen in Brüchen bestimmt werden

Question

Aufgabe:

            -5x +  5y - 4z = -14

          -2x - 3y + 1z = -1

           3x - 8y + 5z = 13

Es sollen gerundete Brüche verwendet werden

Problem/Ansatz:

Ich glaube das Gleichungssystem ist nicht eindeutig lösbar. Kann einer die Parameter X,Y und Z bestimmen in Brüchen und erklären wie das gemacht wurde? Ich bedanke mich im voraus für die Antworten.

Comments

Es sollen gerundete Brüche verwendet werden

Was verstehst Du unter einem "gerundeten Bruch"?

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Gekürzte Brüche

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Ich denke man könnte hier das Additionverfahren verwenden. Stimmt das?

Answer 1

Hallo,

multipliziere die erste Gleichung mit $2$ und ziehe sie von $5$-fachen der 2.Zeile ab. Dann die erste mit $3$ mal nehmen und zum $5$-fachen der dritten Zeile addieren. Dann erhält man:$$\begin{pmatrix}-5& 5& -4\\ 0& -25& 13\\ 0& -25& 13\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-14\\ 23\\ 23\end{pmatrix}$$Die zweite und dritte Zeile sind identisch. Es gibt also mehr als eine Lösung.

Multipliziere dann noch die erste Gleichung mit $5$ und addiere die zweite hinzu:$$\begin{pmatrix}-25& 0& -7\\ 0& -25& 13\\ 0& -25& 13\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-47\\ 23\\ 23\end{pmatrix}$$Dann führt man einen Parameter $t$ ein und setzt z.B. $z=t$. Daraus folgt dann aus der ersten und zweiten Gleichung$$-25x -7t = -47 \implies x = \frac{47}{25} - t \cdot \frac{7}{25}\\-25 y + 13t = 23 \implies y = -\frac{23}{25} + t\cdot\frac{13}{25}$$Alles zusammen fassen gibt dann die Lösungsmenge mit dem Parameter $t$$$\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix} = \frac{1}{25}\left(\begin{pmatrix}47\\ -23\\ 0\end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix}-7\\ 13\\ 25\end{pmatrix}\right)\quad t\in\mathbb{R}$$Gruß Werner

Comments

Es sollen gerundete Brüche verwendet werden

wenn man noch die Substitution $t = 25\lambda -4$ ausführt, dann vereinfacht sich die Gleichung der Geraden zu$$\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\ -3\\ -4\end{pmatrix} + \lambda\cdot \begin{pmatrix}-7\\ 13\\ 25\end{pmatrix}\quad \lambda\in\mathbb{R}$$