Abbildung prüfen, ob sie linear ist

Question

Welche der folgenden Abbildungen f : K^3×1 → K^2×1 sind linear? Bestimme für eine lineare
Abbildung f auch Basen von ker f und f (K^3×1)

(x1,x2,x3)^T↦(x²₁+x²₂,0) für K=R,Z₂

Mir ist klar, dass ich Additivität und Homogenität nachprüfen soll.Nur verwirrt mich der Ausdruck Funktionsausdruck ein bisschen. Was setze ich in f(x+y)= f(x)+f(y) ein? Und wie soll man die Basis des Kerns bestimmen bzw. von f(K^3x1)?

Answer 1

. Was setze ich in f(x+y)= f(x)+f(y) ein?

Denke dir x=(x1,x2,x3)^T und y=(y1,y2,y3)^T

und für die Summe x+y =(x1+y1,x2+y2,x3+y3)^T

Dann siehst du schnell, dass es nicht linear ist.

Comments

Aso ok danke. Wäre die Basis des Kerns eig. dann x_2. Da x_2 ja auf die 0 abbildet?

---

(x1,x2,x3)T ist ein Element des Kerns, wenn

(x²₁+x²₂,0) = (0,0)  Das geht bei Benutzung des Körpers ℝ

nur für x1=x2=0 also ist der Kern die Menge aller

Vektoren der Art (0,0,x₃)T also z.B. (0,0,1)^T eine Basis des Kerns.

Über ℤ₂ braucht nur x1=x2 zu sein, da wären die im Kern (x1,x1,x3)T

also (   (1,1,0)T , (0,0,1)T ) eine Basis des Kerns.