0 Daumen
185 Aufrufe

Aufgabe:

a) Zeigen Sie, dass für \(a, b ∈ \mathbb{R}^n \) mit der Eigenschaft \(\langle a, a − b \rangle = 0 \) gilt

\(  \frac{1}{2}(|a|^2 - |b|^2) + \frac{1}{2}|a - b|^2  \)

b) Überprüfen Sie, dass für alle \(a, b ∈ \mathbb{R}^n \) gilt:

\( |a + b|^2 + |a - b|^2 = 2(|a|^2 + |b|^2)\)


Problem/Ansatz:

Für die a) bin ich wie folgt vorgegangen:

\(\langle a, a − b \rangle = 0 \)

\( \langle a, a − b \rangle = \langle a, a \rangle - \langle a, b \rangle = \langle a, a \rangle -1 + 1 - \langle a, b \rangle\)

\( \langle a, a \rangle -1 + \frac{1}{2} (2 - 2\langle a, b \rangle)\)

\( \langle a, a \rangle -1 + \frac{1}{2} (|a|^2 + |b|^2 - 2\langle a, b \rangle)\)

\( \langle a, a \rangle -1 + \frac{1}{2} (\langle a, a \rangle + \langle b, b \rangle - 2\langle a, b \rangle)\)

\( \langle a, a \rangle -1 + \frac{1}{2} (\langle a - b, a - b\rangle \)

\( \langle a, a \rangle -1 + \frac{1}{2} (|a - b|^2) \)

\( |a|^2 - |b|^2 + \frac{1}{2} (|a - b|^2) \)

Stimmt das so? Wie mache ich hier für den linken Teil weiter? Es stimmt noch nicht ganz links

Für die b)  bin ich wie folgt vorgegangen

\( |a + b|^2 + |a - b|^2 =  (|a|^2 + |b|^2 + 2\langle a, b \rangle) + (|a|^2 + |b|^2 - 2\langle a, b \rangle)  \)

\( 2|a|^2 + 2|b|^2  = 2 (|a|^2 + |b|^2)\)

Stimmt das so?

Habe ich damit schon für die beiden Aufgaben gezeigt dass dies für alle \(a, b ∈ \mathbb{R}^n \) gilt? Oder habe ich das nur für \( \mathbb{R}^2\) gezeigt?

Danke für die Hilfe!

Avatar von

Die Behauptung bei (a) ist unvollständig. Was soll denn für den genannten Ausruck gelten?

Naja meiner Meinung nach soll man es umformen. Ich kann Dir leider nicht mehr sagen. Genau dies stand auf dem Aufgabenblatt: Screenshot 2022-12-03 160250.jpg

Text erkannt:

(i) Zeigen Sie, dass für \( a, b \in \mathbb{R}^{n} \) mit der Eigenschaft \( \langle a, a-b\rangle=0 \) gilt
\( \frac{1}{2}\left(|a|^{2}-|b|^{2}\right)+\frac{1}{2}|a-b|^{2}=0 . \)
(ii) Überprüfen Sie, dass für alle \( a, b \in \mathbb{R}^{n} \) gilt
\( |a+b|^{2}+|a-b|^{2}=2\left(|a|^{2}+|b|^{2}\right) . \)

1 Antwort

0 Daumen

Hallo

es gilt der Pythagoras , da a senkrecht zu a-b ist deshalb gilt b^2=|a-b|^1+a^2

Du hast diese <a,b-a>=0 gar nicht versucht zu benutzen

(auch im R^n liegen ja a ud b und damit a-b in einer Ebene.)

Gruß lul

Avatar von 106 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community