Aufgabe:
Für \( u, v \in \mathbb{R}^{n} \) definieren wir das Skalarprodukt \( \langle u, v\rangle:=u^{T} v . \) Zeige folgende Eigenschaften:
(i) \( \left\langle u_{1}+\lambda u_{2}, v\right\rangle=\left\langle u_{1}, v\right\rangle+\lambda\left\langle u_{2}, v\right\rangle \)
\( \left\langle u, v_{1}+\mu v_{2} v\right\rangle=\left\langle u, v_{1}\right\rangle+\mu\left\langle u, v_{2}\right\rangle \) (Bilinearität)
(ii) \( \langle u, v\rangle=\langle v, u\rangle \) (Symmetrie)
(iii) \( \langle u, u\rangle \geq 0 \) und \( \langle u, u\rangle=0 \Leftrightarrow u=0 \) (positive Definitheit)
