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Aufgabe:

Untersuche die Reihen auf Konvergenz

  ∞

a) ∑ (3²^n) ÷(2^n³)

  n=1

Hinweis: Es gilt 2^n/n³ →∞


  ∞

b) ∑ 5^n ÷ (3^n +4^n)

  n=1


  ∞

c) ∑ n2^n ÷ 3^n

  n=1


   ∞

d) ∑ 2^n ÷ n!

 n=1

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Bei (a) weiß ich nicht, was gemeint sein könnte.

Kannst du das mal bitte ordentlich (mit Klammern) notieren?

2 Antworten

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Beste Antwort

a) Quotientenkriterium

Ι(3^2n+1)/(2^3n+1) / (3^2n)/(2^3n)Ι

Ι(3^2n+1)*(2^3n) / (2^3n+1)*(3^2n)Ι

dann würde ich die Potenzen mit n vereinfachen


Ι(27*3^n)*(8*2^n) / (16*2^n)*(9*3^n)Ι

wenn du richtig "gekürzt" und gerechnet hast. kommst du auf Ι1,5Ι

du weißt ja wenn ΙqΙ < 1, dann konvergiert es bzw. ΙqΙ>1 divergiert es.

Bzw. ohne Betragsstriche:

-1 < q < 1  -> konvergiert

ΙqΙ > 1       -> divergiert

Falls es gleich 1 ist, dann gibt es keine Konvergenzaussage.

Ι1,5Ι > 1,

also divergiert es.


b) Quotientenkriterium

analog zum ersten


c)

n2^n ÷ 3^n

n rausziehen und dann Wurzelkriterium.

also (n2/3)^n


d) Quotientenkriterium

hier sieht es schwer aus, ich zeigs dir ma, aber ist wie die davor


2^(n+1) / (n+1)!   / 2^(n) / (n)!

(2^(n+1)) * (n!)    /    ((n+1)!) * 2^(n)

bevor wir uns um die Fakultät kümmern. 2 hoch n plus 1 ist ja das gleiche wie = 2*2^n davon, das 2^n haben wir unten im Bruch, also rausstreichen

dann haben wir

(2* (n!))  / (n+1)!



überlegen wir uns was n+1! ist

(n+1)*(n)*(n-1)*...

und n! ist dann:

n*(n-1)*(n-2)*...

das heißt, wir können auch aus dem n+1! die erste multiplikation herausziehen, also "n+1" und dann steht das gleiche wie n! noch da, also haben wir: (n+1)* n!

(2* (n!))  / (n+1)* n!

nun siehst du. du kannst n! rauskürzen

2*1 / (n+1)*1

2/n+1

btw. natürlich das alles im Betrag.

das setzten wir dann im limes

lim    2/n+1, ist natürlich eine 0 Folge

n->∞

und da unser Grenzwert nach dem Quotientenkriterium 0 ist und 0 kleiner als 1 ist, bzw größer als -1 und kleiner als +1, konvergiert diese Reihe.


hab für extra die b und c nicht gemacht, damit du selbst versuchen kannst :)

Avatar von
c)

n2n ÷ 3n

n rausziehen und dann Quotientenkriterium.

also (n2/3)n

Warum das denn?

mein Fehler Wurzel.

beim, Quotientenkriterium nicht n rausziehen.

btw beides möglich. halt beim Quotientenkriterium ohne n herausziehen, beim Wurzel, mit :)

Wow, danke dir.

Werde die anderen 2 Aufgaben dann mal probieren

Also die b) habe ich verstanden, die c) verstehe ich immer noch nicht

erstmal ziehen wir aus dem Zähler das n raus

n* (2^n/3^n)

dann ziehen wir die n als Potenz raus

n*(2/3)^n

Quotientenkriterium

(n+1)*(2/3)^(n+1)   / n*(2/3)^n

((n+1)*(2/3)^n)*(2/3)^n  / n*(2/3)^n   <- offensichtliches dividieren


(n+1)*(2/3)^n)   /   n bleibt übrig (natürlich alles im Betrag)   dann multiplizieren
n*(2/3)^n + (2/3)^n  /  n

(2/3)^n +( (2/3)^n  /  n)

n -> gegen unendlich betrachtet, aber im positiven, wegen Betrag

eine Zahl unter 1 hoch n geht gegen 0

also 0 plus 0 geteilt durch eine immer größer werdene Zahl oder anders ausgedrück

(2/3)^n +  ((2/3)^n)1/n

im limes:

0 + 0 * 0

es geht gegen 0, und null ist kleiner als 1 -> konvergiert

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a) nicht klar lesbar

b) 3^n/4^n = (3/4)^n

-> (5^n/(3/4)^n) = (20/3)^n -> Divergenz

c) = n* (2/3)^n

d) n! wächst schneller als 2^n, der Bruch geht gegen 0 für n -> oo

Avatar von 35 k
der Bruch geht gegen 0

Das reicht nicht, um Reihenkonvergenz zu beweisen.

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