Partialbruchzerlegung - Stammfunktion bilden

Question

Aufgabe: Ich soll hier wieder die Partialbruchzerlegung bestimmen.

Aber kann man hier überhaupt die Partialbruchzerlegung bestimmen? Ich weiß nicht, wie das hier funktionieren soll. Ich muss ja zuerst eine Polynomdivision durchführen, aber es klappt trotzdem nicht. Der Rechner spuckt mir auch keine Rechnung. Kann es sein, dass der Nenner falsch ist? Könnt ihr mir bitte weiterhelfen?

Problem/Ansatz:

$\frac{x^{3}-3 x^{2}+2 x+7}{x^{2}-4 x+5}$
$x^{3}-3 x^{2}+2 x+7: x^{2}-4 x+5=x+1$
$-x^{3} \pm 4 x^{2}+5 x$
$1+x^{2}-3 x+7$
$\frac{\mp x^{2} \pm 4 x \mp 5}{x+2}$
$f=x+1+\frac{x+2}{x^{2}-4 x+5}$

Answer 1

Aloha :)

Die Polynomdivision hast du korrekt durchgeführt:$$\frac{x^3-3x^2+2x+7}{x^2-4x+5}=x+1+\frac{x+2}{x^2-4x+5}$$

Wegen $\pink{x^2-4x+5}=(x^2-4x+4)+1=\pink{(x-2)^2+1}\ge1$ hat der Nenner keine reellen Nullstellen, sodass du den erhaltenen Bruch nicht weiter in Partialbrüche zerlegen kannst.

Das eigentliche Problem ist hier, den Bruch so umzuformen, dass sich das Integral leicht bilden lässt. Dazu formst du den Zähler so um, dass er der Ableitung des Nenners möglichst nahe kommt:$$\frac{x+2}{x^2-4x+5}=\frac12\,\frac{2x\blue{+4}}{x^2-4x+5}=\frac12\,\frac{(2x\blue{-4})\blue{+8}}{x^2-4x+5}=\boxed{\frac12\,\frac{(2x\blue{-4})}{x^2-4x+5}}+\frac12\,\frac{\blue{8}}{x^2-4x+5}$$In dem eingerahmten Bruch ist der Zähler nun die Ableitung des Nenners. Das Integral von solchen Brüchen ist ein Standard-Integral:$$\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+\text{const}$$sodass das Integral von dem gerahmten Bruch sofort klar ist.

Nach diesem Schritt haben wir es mit einem neuen Bruch zu tun, der aber kein $x$ mehr im Zähler enthält. Für diese Art von Brüchen ist ein weiteres Standardintegral hilfreich:$$\int\frac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan(x)+\text{const}$$Daher schreiben wir den Bruch entsprechend um:$$\frac12\,\frac{8}{\pink{x^2-4x+5}}=\frac{4}{\pink{1+(x-2)^2}}$$

Daher wäre die effizienteste Zerlegung mit Hinblick auf das Integral:$$\frac{x^3-3x^2+2x+7}{x^2-4x+5}=x+1+\frac12\,\frac{2x-4}{x^2-4x+5}+\frac{4}{1+(x-2)^2}$$Das Integral selbst ist nun:$$\int\frac{x^3-3x^2+2x+7}{x^2-4x+5}dx=\frac{x^2}{2}+x+\frac12\ln|x^2-4x-5|+4\arctan(x-2)+\text{const}$$

Comments

Vielen vielen Dank Tschakabumba für deine Erklärung!!

Ich rechne alles mal nach und melde mich bei Fragen :)

Answer 2

Da dein Nenner nur komplexe Nullstellen hat bist u nach der Polynomdivision bereits fertig.

(x³ - 3·x² + 2·x + 7)/(x² - 4·x + 5)

= x + 1 + (x + 2)/(x² - 4·x + 5)

Siehe dazu auch: https://de.wikipedia.org/wiki/Partialbruchzerlegung#Komplexe_Polstel…

Comments

Danke Mathecoach für deine Rückmeldung!