Berechnen Sie die Bogenlänge des oberen Halbkreises, indem Sie die Länge eines geeigneten Graphen bestimmen.

Question

Gegeben sei die Menge S¹ := {(x, y) ∈ R² : x² + y² = 1} . Betrachte den
oberen Halbkreis
H:={(x,y)∈S1 : y≥0 }.
Berechnen Sie die Bogenlänge des oberen Halbkreises, indem Sie die Länge eines geeigneten Graphen bestimmen.

Kann mir einer bei dieser Aufgabe helfen? Ich versteh diese leider überhaupt nicht und hab auch leider noch keinen Ansatz.

Answer 1

Aloha :)

Wenn wir alle Punkte bestimmen wollen, die zur Menge$$S^1\coloneqq\{(x;y)\in\mathbb R^2\,\big|\,x^2+y^2=1\}$$gehören, müssen wir auf die Einhaltung der Bedinung $(x^2+y^2=1)$ achten. Wählen wir zuerst $x$ aus, muss $x\in[-1;1]$ gelten, damit $x^2\le1$ gilt. Haben wir $x$ gewählt, muss $y$ die Bedingung $(y^2=1-x^2)$ bzw. $(y=\pm\sqrt{1-x^2})$ erfüllen. Wir können daher die Menge $S^1$ auch so beschreiben:$$S^1\coloneqq\{(x;y)\in\mathbb R^2\,\big|\,x\in[-1;1]\;\land\;y=\pm\sqrt{1-x^2}\}$$

Die Menge $H^1\coloneqq\{(x;y)\in S^1\,\big|\,y\ge0\}$ sortiert nun alle Punkte der Menge $S^1$ aus, deren $y$-Wert negativ ist. Wir können daher das Vorzeichen der Wurzel weglassen:$$H^1=\{(x;y)\in\mathbb R^2\,\big|\,x\in[-1;1]\;\land\;y=\sqrt{1-x^2}\}$$

Damit haben wir einen geeigneten Graphen $(y(x)=\sqrt{1-x^2})$ über dem Intervall $x\in[-1;1]$ gefunden, von dem wir nun die Länge bestimmen sollen.

Stell dir vor, du stehst irgendwo auf diesem Graphen rum. Jetzt gehst du ein kleines Stück $\Delta x$ entlang der $x$-Achse und gewinnst dabei ein kleines Stück $\Delta y$ entlang der $y$-Achse an Höhe. Auf dem Graphen selbst hast du dabei die Entfernung $\Delta s$ zurückgelegt, für die nach Pythagoras gilt:$$(\Delta s)^2=(\Delta x)^2+(\Delta y)^2=(\Delta x)^2\cdot\left(1+\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)^2\right)\implies\Delta s=\sqrt{1+\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)^2}\,\Delta x$$Wenn das Stück $\Delta x\to dx$ nun infinitesimal klein wird. heißt das:$$ds=\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx=\sqrt{1+\left(y'(x)\right)^2}\,dx$$Diese Wegstücke $ds$ musst du nun über $x\in[-1;1]$ addieren und erhältst dann die gesuchte Weglänge:$$\ell=\int\limits_{-1}^1\sqrt{1+\left(y'(x)\right)^2}\,dx=\int\limits_{-1}^1\sqrt{1+\left(\frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2}\right)^2}\,dx=\int\limits_{-1}^1\sqrt{1+\left(\frac{-\cancel2x}{\cancel2\sqrt{1-x^2}}\right)^2}\,dx$$$$\phantom\ell=\int\limits_{-1}^1\sqrt{1+\frac{x^2}{1-x^2}}\,dx=\int\limits_{-1}^1\sqrt{\frac{1-x^2}{1-x^2}+\frac{x^2}{1-x^2}}\,dx=\int\limits_{-1}^1\sqrt{\frac{1}{1-x^2}}\,dx=\int\limits_{-1}^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$$

Für den sehr unwahrscheinlichen Fall, dass du das verbliebene Integral nicht auwendig kennst, hier der Rechenweg mittels Substitution:$$\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx\stackrel{x=x(u)}{=}\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2(u)}}\,\frac{dx}{du}\,du\stackrel{x=\sin(u)}{=}\int\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(u)}}\,\cos(u)\,du$$$$\phantom{\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx}=\int\frac{1}{\cos(u)}\cdot\cos(u)\,du=\int du=u+C\stackrel{x=\sin(u)}{=}\arcsin(x)+C$$

Damit haben wir als Bogenlänge:$$\ell=\arcsin(1)-\arcsin(-1)=\frac\pi2-\left(-\frac\pi2\right)=\pi$$

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Vielen Dank.

Answer 2

Der obere Halbkreis wird beschrieben durch $\displaystyle y(x)=\sqrt{1-x^2}\$ für $\ -1\le x\le1$.
Die Bogenlänge berechnet sich nach der Formel$$L=\int_{-1}^1\sqrt{1+\big(y^\prime(x)\big)^2}\,\mathrm dx\\L=\int_{-1}^1\sqrt{1+\left(\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}\right)^{\!2}}\,\mathrm dx=\int_{-1}^1\frac1{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm dx=\arcsin x\Big|_{-1}^1=\pi.$$

Comments

vielen dank.

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Hallo arsin,
y ( x ) = √ ( 1 - x² ).
Ist dies nicht zufällig die Kreisgleichung
Ist die Bogenlänge nicht der Umfang ?

mfg Georg

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Weil in der Aufgabenstellung von "Halbkreis" die Rede ist würde ich das nicht "zufällig" nennen.