Wie beweise oder widerlege ich dies nun?

Question

Aufgabe:

Sei K ein Körper und seine m,n ∈ ℕ. Beweisen oder widerlegen Sie:
- Seien A,B ∈ GL (3,K). Dann gilt (A B ^-1) (B A ^-1) = E₃

Problem/Ansatz:
Wie beweise oder widerlege ich dies nun?

Comments

Denke an das Assozativgesetz für die Matrizenmultiplikation

Answer 1

Aloha :)

Das Assoziativ-Gesetz besagt ja, dass die Reihenfolge, in der du die Operation einer Gruppe anwendest, egal ist. Also ändere einfach die Reihenfolge, in der die Matrix-Multiplikationen ausgeführt werden.:$$(A\cdot B^{-1})(B\cdot A^{-1})=((A\cdot B^{-1})\cdot B)\cdot A^{-1}=(A\cdot \underbrace{(B^{-1}\cdot B)}_{=E_3})\cdot A^{-1}$$$$\phantom{(A\cdot B^{-1})(B\cdot A^{-1})}=(A\cdot E_3)\cdot A^{-1}=A\cdot A^{-1}=E_3$$