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Aufgabe:

Sei K ein Körper und seine m,n ∈ ℕ. Beweisen oder widerlegen Sie:
- Seien A,B ∈ GL (3,K). Dann gilt (A B -1) (B A -1) = E3

Problem/Ansatz:
Wie beweise oder widerlege ich dies nun?







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Denke an das Assozativgesetz für die Matrizenmultiplikation

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Aloha :)

Das Assoziativ-Gesetz besagt ja, dass die Reihenfolge, in der du die Operation einer Gruppe anwendest, egal ist. Also ändere einfach die Reihenfolge, in der die Matrix-Multiplikationen ausgeführt werden.:(AB1)(BA1)=((AB1)B)A1=(A(B1B)=E3)A1(A\cdot B^{-1})(B\cdot A^{-1})=((A\cdot B^{-1})\cdot B)\cdot A^{-1}=(A\cdot \underbrace{(B^{-1}\cdot B)}_{=E_3})\cdot A^{-1}(AB1)(BA1)=(AE3)A1=AA1=E3\phantom{(A\cdot B^{-1})(B\cdot A^{-1})}=(A\cdot E_3)\cdot A^{-1}=A\cdot A^{-1}=E_3

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