Basis von Funktion bestimen

Question

Im Vektorraum C^(∞) (R) seien Funktionen f1, f2, . . . , fn und g gegeben

n = 2: f_1 = sin, f_2 = cos, g : x → 3 sin x + 4 cos (x)

a) Zeige: B = ( f1, f2, . . . , fn) ist eine Basis von U.
(b) Zeige: Der Differentiationsoperator d nach dx bildet U in U ab.
(c) Bestimme die Matrix 〈B∗, d nach dx (B)〉. Berechne mit ihrer Hilfe die erste Ableitung der Funktion g.

Bei a) müsste ich ja zeigen, dass jeder Vektor aus C als LK darstellbar ist mit einem Skalar aus R oder?

bei b und c komm ich nicht wirklich weiter. Könnte mir jemand helfen?

Answer 1

C^(∞) (R) ist doch wohl der Raum der beliebig oft differenzierbaren

Funktionen von R nach R.

a) Zeige: B = ( f1, f2, . . . , fn) ist eine Basis von U. Dazu müsste man wissen

was U sein soll. Ein Blick in die Glaskugel lässt mich vermuten:

U = <   f1, f2, . . . , fn > und du hast ja hier den Fall n=2 , also U=<f1,f2>

Da sin und cos in C^(∞) (R) lin. unabh. sind, bilden sie eine Basis.

Und g∈U , weil Linearkomb. von f1 und f2.

b) Es ist f1'=f2 und f2' = -f1 . Die sind auch lin. unabhängig und

spannen also auch U auf.

(c) Bestimme die Matrix 〈B∗, d nach dx (B)〉. Berechne mit ihrer Hilfe

die erste Ableitung der Funktion g.

b) zeigt ja ( wenn B* = B sein soll ?) , dass die Matrix so aussieht

\(M=\left(\begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right)\).  Und g hat den Koordinatenvektor \(g=\left(\begin{array}{cc} 3 \\ 4 \end{array}\right) \)

also \(g'= M * \left(\begin{array}{cc} 3 \\ 4 \end{array}\right)=  \left(\begin{array}{cc} -4 \\ 3 \end{array}\right) \)

also g'(x)  =  -4  sin x + 3 cos (x).

Answer 2

Hallo

die Ableitung  der 2 Funktionen  bzw Basisvektoren ist doch

f1'=f2,, f2'=-f1 damit hast du die Matrix mit den Spalten (0,1) und (-1,0) die wird mit dem Vektor g=(3,4) multipliziert um die Ableitung von g zu finden.

bei a) musst du nur zeigen, dass die 2 linear unabhängig sind und deshalb einen UVR bilden