Bestimmen Sie eine Basis des Unterraums U := { p ∈ Pol3R ; p(1) = 0 }.

Question

Aufgabe:

Es bezeichne Pol³_ℝ := {p ∈ Pol_ℝ ; deg(p) ≤ 3} den Raum der reellen Polynome mit Grad
höchstens drei. Bestimmen Sie eine Basis des Unterraums U := { p ∈ Pol3R ; p(1) = 0 }.

Problem/Ansatz:

Ich komme hier leider nicht weiter. Ich brauche Hilfe

Answer 1

Als erstes kann man sich überlegen, wie denn \(\mathrm{Pol}^3_\mathbb R\) "aussieht". Eine Basis ist gegeben durch \((1,X,X^2,X^3)\). (Das muss man an sich zeigen, also lineare Unabhängigkeit und, dass das auch ein Erzeugendensystem ist. Das ist auch eine gute Übung, um mit der Definition einer Basis vertraut zu werden.)

Damit hat \(\mathrm{Pol}^3_\mathbb R\) Dimension 4.

Als nächstes überlegen wir uns einfach 'mal ein paar Polynome mit der geforderten Eigenschaft. Zum Beispiel gilt ja für \(p=X-1\), dass \(p(1)=0\). Selbiges gilt auch für \(X^2-1\) und \(X^3-1\). Diese drei sind linear unabhängig, das lasse ich jetzt auch 'mal als Übung übrig. (Allgemein hilft bei vielen Aufgaben, bei denen man nicht weiterkommt, einfach 'mal etwas auszuprobieren, wie hier, irgendwelche Polynome aus \(U\) aufzuschreiben.)

Wir wissen also schonmal: \(U\) hat mindestens Dimension 3.

Wir wissen aber auch: \(U\subsetneq \mathrm{Pol}^3_\mathbb R\), denn andernfalls wäre ja zum Beispiel, \(q=X\in U\), aber \(q(1)=1\). Das heißt, wir haben \(\mathrm{dim}(U)\le 3\), weil sonst hätten wir ja, dass \(U=W\) gilt.

Insgesamt haben wir also \(3\le\mathrm{dim}(U)\le3\), also ist die Dimension 3 und die drei gefundenen Polynome von oben sind schon eine Basis von \(U\), da sie ein maximales Erzeugendensystem bilden.

Bei irgendwelchen weiteren Fragen, z.B. zu den bisherigen Lücken, gerne einfach einen Kommentar schreiben. :)

Comments

wow danke vielmals!!!!!!

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hallo,

wie sind Sie auf (1,X,X²,X³) draufgekommen ?

und warum hat U 3 Dimensionen ?

soweit ich verstehe Pol³ hat 4 Elemente. Für X,X²,X³ gilt p=X-1 aber nicht für 1 ???

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\(\mathrm{Pol}^3_\mathbb R\) sind ja alle reellen Polynome mit Grad höchstens drei, d.h. zum Beispiel ist auch \(3X^2-4X+1\in\mathrm{Pol}^3_\mathbb R\) oder \(\pi X^3-\mathrm{e}X^2\in\mathrm{Pol}^3_\mathbb R\).

\(\mathrm{Pol}^3_\mathbb R\) hat also unendlich viele Elemente, die vier Elemente \(X^3,X^2,X,1\) sind eine Basis von dem Vektorraum.

\(U\) hat mindestens Dimension 3, weil auf jeden Fall schonmal \(X^3-1, X^2-1, X-1\in U\) gilt, weil zum Beispiel ist ja \(1^3-1=0\Rightarrow X^3-1\in U\). Die drei sind auch linear unabhängig, denn \(aX^3-bX^2-cX-(a+b+c)\) mit \(a,b,c\in\mathbb R\) ist nur dann das Nullpolynom, also für alle \(X\in\mathbb R\) gleich 0, wenn \(a=b=c=0\) gilt. (Sonst hat ja das Polynom Grad \(\ge 1\) und \(\le 3\) und damit auch höchstens 3 Nullstellen, denn ein Polynom \(p\ne 0\) hat maximal \(\mathrm{Grad}(p)\) Nullstellen.)

Die obere Schranke für die Dimension kriegt man dann eben, da kein Polynom mit Grad 0 in \(U\) liegt.